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1、3.7 反函数 【高教版中职(基础)数学第一册第三章 3.7“反函数”第一节】一、教材与学生的数学现实分析1 现在的世界已进入信息时代, 计算机和互联网迅速普及, 计算机科学和信息科学蓬勃发展,由此促使了离散教学的地位日益上升,于是映射成了数学中最基本的概念之一。 映射也是日常生活中许多现象的抽象, 中学生学习映射的概念 . 有多方面的用处, 本教材就是运用映射的观点阐述反函数的概念, 给出了反函数的求法,与传统的方法不同,我们的创新,使得反函数概念的本质容易理解,反函数的求法严谨且易于掌握。所以,抓住反函数这一典型课题,通过科学的设计,使学生亲历将映射的观念惯穿始终的由特殊抽象到一般思维过程
2、,感受知识的形成与发展规律是至关重要的。2 此前学生已经学习了映射的基本概念,同时也学习了函数的基本性质,对于理论性的研究有了初步的尝试,有了一定得分析、对比、抽象概括的能力,但毕竟以前接触的函数等知识较为简单,而反函数的知识较为抽象,因此本节的设计更加具体、细致、突出学生的主动认知性。3 考虑到中学生基础较差,辨析与理解力较低。所以本节应用两个较简单的例子引入,而且应用了“对应法则”这个很熟悉的词来寻找互为反函数的关系,又将其应用至求反函数的整个过程中,使学生原本厌学的情绪有所转化,激发他们的学习兴趣,进一步培养他们的学习能力。通过以上分析,可得出:1) 学习重点和难点:重点是反函数概念的理
3、解、应用和在代数中有着重要和广泛应用的由特殊到一般的化归思想;难点是反函数概念的理解。2) 教学方法:引导类比探索法,从具体到抽象,让学生充分感受和理解知识的发生、发展过程,展开学生的思维,培养学生抽象概括能力。3 )教学工具:多媒体教学二、教学目标知识目标:(1)对反函数概念的理解。(2)给定函数的反函数的求法。能力目标:让学生亲自体验知识的形成过程,加深对知识及其内在联系的理解,并进一步强化映射、函数知识的应用。培养学生的逻辑推理、逆向思维、发散思维、综合归纳的能力。情感目标:(1)培养学生对立统一的辩证唯物主义观点。(2)在民主、和谐的教学气氛中,促进师生的情感交流。三、教学过程教 学
4、过 程 设计说明问题:函数 y = 3x 与函数 y =13x 的对应法则有 映射的对应什关系? 法则是学生以前学习过且重点讲述的的问题,所创 (教师问学生:要解决这个问题我们必须应用什么 以,问题如此提设 知识呢?我们不妨亲自尝试列举一下,通过你列举的结果 出使原本抽象的问 来判断这两个函数之间的关系) 反函数引入问题题 简单化,既复习情 旧知识又使学生境 对本节产生兴趣学生自主思考、讨论,体会知识的产生及形成过程, 数学的新旧知进而把握概念的实质。教师可根据实质情况进行必要的思 识之间有非常紧维点拨,使学生全面、准确的得到: 密的联系,教师y = 3x y =13x 要引导学生用旧学 把-
5、1 对应到 -3 把-3 对应到 -1 知识发现新问题把 1 对应到 3 把 3 对应到 1 产生新需要,要生 把 2 对应到 6 把 6 对应到 2 给学生留有充分, , 的思维空间, 启自 把 a 对应到 b = 3a 把 b = 3a 对应到 a 发学生从问题出发,联系有关知主 函数 y = 3x 与 y =13x 的对应法则正好是相反的: 识(映射、函数)y = 3x 把 a 对应到 b = 3a 从不同角度、不探 y =13x 把 b = 3a 对应到 a. 同方面认识问题。很自然地可以把 y =13x 叫做 y = 3x 的反函数,也可以 用对比的方法得索 把 y = 3x 叫做
6、y =13x 的反函数,他们互为反函数。 到两个特殊函数那么简要概述以上过程,同学门可以形象的表示为: 的映射关系,再和 用一般字母 a 和教 学 过 程 设计说明R y=3x R b 统一表示,充研 分反映了两个函a b=3a数的特殊对应关系,同时映射的究 y=13x 引入,又使学生积极主动的参与突出了知识的形成过程。函数 y = 3x 的定义域为 R1,值域为 R2,既在 R1 中 数学概念的形成辩 每一个元素 a,在R2 中只有一个元素 b , 使得 b=3a, 离不开抽象与概括,析 而函数 y =13x 又告诉我们在 R2 中每一个元素 b, 因此要让学生亲自在 R1 中只有一个元素
7、a, 使得 b = 3a, 经历由具体到抽象,研 把 b 对应到 a 的映射 y=13x 称为映射 y = 3x 的反 概括事物本质属性讨 数 。 的过程, 以培养学所以,想要寻找到函数 y = 3x 的反函数 ,关键的 生形成数学概念的问题是要看在 R2 中每一个元素 b, 在 R1 中只有一个元 概括能力,教师要与 素 a 形成 R2 到 R2 的映射,若有,则此映射既为原函数 根据情况决定介入的反函数。 程度, 使概念完整抽 通过对函数 y =13x 、y = 3x 的研究、探讨,同学 的展现在学生面前。象 们自然会考虑到一般的反函数的定义: 另外, 这种讲解方一般的,设函数 y =f
8、(x) 的定义域为 A,值域为 B。 法,把反函数概念如果对于 B中的每一个元素 b,在 A 中只有一个元素 a 的本质清晰的揭示使得 f(a) = b, 那么把 b 对应到 a 的映射称为 y=f(x) 的 出来,使学生能直概 反函数,记作 y = f-1 ( x ) 观的、朴素的认识A y=f(x) B 到有反函数的条件。括 Aa b-1y = f ( x )1) 从定义得的出过程可以看出:如果函数 y = f(x) 反思有利于学生有反函数,那么对思维过程的自我反 y = f (x) 的值域 B 是反函数 y = f-1 (x) 的定义域,认识和自我控制,y = f(x) 的定义域 A 是
9、反函数 y = f-1 (x) 的值域 形成良好的知识思 f (a) = b , a A f-1 (b) = a , b B结构,从而促进新2) 如果函数 y = f(x) 有反函数 y = f-1(x) ,那么 的思维角度、思维与 y = f-1 (x) 也有反函数,并且 y =f -1 (x) 的反函数就是 形式的变换和更新y = f (x) ,称他们互为反函数。 使学生的思维能力评 3 ) 不是每一个函数都有反函数,让学生讨论函数认知方式得到优化。y = x2 有没有反函数,价 得出:没有,理由是:对于 y = x2 的值域 R的一个元素 4,在定义域 R中有两个元素 2 和-2 ,使得
10、: a22 = 4 , (-2 )2 = 4这与反函数的定义不符创问题: 求下列函数的反函数:问题的设置又设 1 )y = 2x + 1 一次让学生明确问 2 )y = x 求得函数反函数题 3 )y =3xx11的逻辑思维过程,情这是整节课始终境观察分析这三个函数的特点,对求对数函数的过贯穿的用映射中程进行讨论: 的对应法则来解释反函数, 求得反函数。让学生充分的思考、讨论,并联系反函数定义的得出 要给学生留有过程探求问题的解决途径, 可得到: 充分的时间进行首先要知道原函数 y=f(x) 的值域;才能判断出所求 思考相互之间也思 出的函数是不是反函数(因为反函数必须是对于 y=f(x) 可
11、以进行讨论,使的值域中每一个元素 b,都有 y=(x) 的定义域中唯一的 学生有逻辑性的寻考 一个元素 a 与它对应) . 既先求出值域再求出反函数。 找求反函数的过程(书写求得反函数的过程, 又完全符合前面我们分析 教师要引导学生依求得反函数定义的过程) 据反函数的定义域如:(解例一和三) 得出过程来寻找,教 学 过 程 设计说明探 并注意函数 a 对应练习题作业: 或课外作业b ,而反函数 b 对(1) y=2x-5究 应 a 的关系。学生观察力 1(2) y=辩 x 的培养是不可忽视的,教师要启 (3) y=析 发同学观察、 分析x 1析,寻找特征, 归纳解答方法。引导学生反思本节课整个
12、的学习过程, 使它们从 反思有利于学知识、方法、能力三个维度上得到如下认识: 生进一步搞清知识反 1 )本节我们很好的利用映射中对应法则引入了 的产生及形成过程,两个特殊的函数, 通过对比寻找它们对应法则的关系, 掌握获取知识的方思 很自然的引入了反函数的概念, 揭示了反函数概念的本 法,提高学生分析质,也为后来求得函数的反函数过程做好相应的铺垫。 问题、解决问题的与 2 )找反函数概念的过程,应用于实际问题中求 能力,以形成良好函数的反函数,既巩固了概念,又深化了对概念的 的认知结构评 理解,也感受了具体求反函数方法的科学性、重要性。3 )在学习得到和运用新概念的过程中,我们的价 收获不仅是知识,更重要的是认识知识的过程,类比转化的思想是学习数学的重要思想。4)引导学生反思与评价在本节课的学习活动中,我们得到了互为反函数的两个函数,那么它们的图像之间又有什么关系呢?(课下完成以下实验)课外实验:在一张薄的白纸上画一个直角坐标系 Oxy,然后 为下一节课做铺画出函数 y=3x 的图像 l 1, 和 y=3x 的图像 l 2, 再画出 垫,引出互为反函直线 y=x. 将白纸沿直线 y=x 折叠, 观察 l 1 与 l 2 是 数的两个函数图像否完全重合 ? 之间的关系