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1、3.7 反函数 【高教版中职（基础）数学第一册第三章 3.7“反函数”第一节】一、教材与学生的数学现实分析1 现在的世界已进入信息时代， 计算机和互联网迅速普及， 计算机科学和信息科学蓬勃发展，由此促使了离散教学的地位日益上升，于是映射成了数学中最基本的概念之一。 映射也是日常生活中许多现象的抽象， 中学生学习映射的概念 . 有多方面的用处， 本教材就是运用映射的观点阐述反函数的概念， 给出了反函数的求法，与传统的方法不同，我们的创新，使得反函数概念的本质容易理解，反函数的求法严谨且易于掌握。所以，抓住反函数这一典型课题，通过科学的设计，使学生亲历将映射的观念惯穿始终的由特殊抽象到一般思维过程
2、，感受知识的形成与发展规律是至关重要的。2 此前学生已经学习了映射的基本概念，同时也学习了函数的基本性质，对于理论性的研究有了初步的尝试，有了一定得分析、对比、抽象概括的能力，但毕竟以前接触的函数等知识较为简单，而反函数的知识较为抽象，因此本节的设计更加具体、细致、突出学生的主动认知性。3 考虑到中学生基础较差，辨析与理解力较低。所以本节应用两个较简单的例子引入，而且应用了“对应法则”这个很熟悉的词来寻找互为反函数的关系，又将其应用至求反函数的整个过程中，使学生原本厌学的情绪有所转化，激发他们的学习兴趣，进一步培养他们的学习能力。通过以上分析，可得出：1） 学习重点和难点：重点是反函数概念的理
3、解、应用和在代数中有着重要和广泛应用的由特殊到一般的化归思想；难点是反函数概念的理解。2） 教学方法：引导类比探索法，从具体到抽象，让学生充分感受和理解知识的发生、发展过程，展开学生的思维，培养学生抽象概括能力。3 ）教学工具：多媒体教学二、教学目标知识目标：（1）对反函数概念的理解。（2）给定函数的反函数的求法。能力目标：让学生亲自体验知识的形成过程，加深对知识及其内在联系的理解，并进一步强化映射、函数知识的应用。培养学生的逻辑推理、逆向思维、发散思维、综合归纳的能力。情感目标：（1）培养学生对立统一的辩证唯物主义观点。（2）在民主、和谐的教学气氛中，促进师生的情感交流。三、教学过程教 学
4、过 程 设计说明问题：函数 y = 3x 与函数 y =13x 的对应法则有 映射的对应什关系？ 法则是学生以前学习过且重点讲述的的问题，所创 （教师问学生：要解决这个问题我们必须应用什么 以，问题如此提设 知识呢？我们不妨亲自尝试列举一下，通过你列举的结果 出使原本抽象的问 来判断这两个函数之间的关系） 反函数引入问题题 简单化，既复习情 旧知识又使学生境 对本节产生兴趣学生自主思考、讨论，体会知识的产生及形成过程， 数学的新旧知进而把握概念的实质。教师可根据实质情况进行必要的思 识之间有非常紧维点拨，使学生全面、准确的得到： 密的联系，教师y = 3x y =13x 要引导学生用旧学 把-
5、1 对应到 -3 把-3 对应到 -1 知识发现新问题把 1 对应到 3 把 3 对应到 1 产生新需要，要生 把 2 对应到 6 把 6 对应到 2 给学生留有充分, , 的思维空间， 启自 把 a 对应到 b = 3a 把 b = 3a 对应到 a 发学生从问题出发，联系有关知主 函数 y = 3x 与 y =13x 的对应法则正好是相反的： 识（映射、函数）y = 3x 把 a 对应到 b = 3a 从不同角度、不探 y =13x 把 b = 3a 对应到 a. 同方面认识问题。很自然地可以把 y =13x 叫做 y = 3x 的反函数，也可以 用对比的方法得索 把 y = 3x 叫做
6、y =13x 的反函数，他们互为反函数。 到两个特殊函数那么简要概述以上过程，同学门可以形象的表示为： 的映射关系，再和 用一般字母 a 和教 学 过 程 设计说明R y=3x R b 统一表示，充研 分反映了两个函a b=3a数的特殊对应关系，同时映射的究 y=13x 引入，又使学生积极主动的参与突出了知识的形成过程。函数 y = 3x 的定义域为 R1，值域为 R2，既在 R1 中 数学概念的形成辩 每一个元素 a，在R2 中只有一个元素 b , 使得 b=3a, 离不开抽象与概括，析 而函数 y =13x 又告诉我们在 R2 中每一个元素 b， 因此要让学生亲自在 R1 中只有一个元素
7、a, 使得 b = 3a, 经历由具体到抽象，研 把 b 对应到 a 的映射 y=13x 称为映射 y = 3x 的反 概括事物本质属性讨 数 。 的过程， 以培养学所以，想要寻找到函数 y = 3x 的反函数 ，关键的 生形成数学概念的问题是要看在 R2 中每一个元素 b， 在 R1 中只有一个元 概括能力，教师要与 素 a 形成 R2 到 R2 的映射，若有，则此映射既为原函数 根据情况决定介入的反函数。 程度， 使概念完整抽 通过对函数 y =13x 、y = 3x 的研究、探讨，同学 的展现在学生面前。象 们自然会考虑到一般的反函数的定义： 另外， 这种讲解方一般的，设函数 y =f
8、(x) 的定义域为 A，值域为 B。 法，把反函数概念如果对于 B中的每一个元素 b，在 A 中只有一个元素 a 的本质清晰的揭示使得 f(a) = b, 那么把 b 对应到 a 的映射称为 y=f(x) 的 出来，使学生能直概 反函数，记作 y = f-1 ( x ) 观的、朴素的认识A y=f(x) B 到有反函数的条件。括 Aa b-1y = f ( x )1） 从定义得的出过程可以看出：如果函数 y = f(x) 反思有利于学生有反函数，那么对思维过程的自我反 y = f (x) 的值域 B 是反函数 y = f-1 (x) 的定义域，认识和自我控制，y = f(x) 的定义域 A 是
9、反函数 y = f-1 (x) 的值域 形成良好的知识思 f (a) = b , a A f-1 (b) = a , b B结构，从而促进新2） 如果函数 y = f(x) 有反函数 y = f-1(x) ，那么 的思维角度、思维与 y = f-1 (x) 也有反函数，并且 y =f -1 (x) 的反函数就是 形式的变换和更新y = f (x) ，称他们互为反函数。 使学生的思维能力评 3 ） 不是每一个函数都有反函数，让学生讨论函数认知方式得到优化。y = x2 有没有反函数，价 得出：没有，理由是：对于 y = x2 的值域 R的一个元素 4，在定义域 R中有两个元素 2 和-2 ，使得
10、： a22 = 4 ， （-2 ）2 = 4这与反函数的定义不符创问题： 求下列函数的反函数：问题的设置又设 1 ）y = 2x + 1 一次让学生明确问 2 ）y = x 求得函数反函数题 3 ）y =3xx11的逻辑思维过程，情这是整节课始终境观察分析这三个函数的特点，对求对数函数的过贯穿的用映射中程进行讨论： 的对应法则来解释反函数， 求得反函数。让学生充分的思考、讨论，并联系反函数定义的得出 要给学生留有过程探求问题的解决途径， 可得到： 充分的时间进行首先要知道原函数 y=f(x) 的值域；才能判断出所求 思考相互之间也思 出的函数是不是反函数（因为反函数必须是对于 y=f(x) 可
11、以进行讨论，使的值域中每一个元素 b，都有 y=(x) 的定义域中唯一的 学生有逻辑性的寻考 一个元素 a 与它对应） . 既先求出值域再求出反函数。 找求反函数的过程（书写求得反函数的过程， 又完全符合前面我们分析 教师要引导学生依求得反函数定义的过程） 据反函数的定义域如：（解例一和三） 得出过程来寻找，教 学 过 程 设计说明探 并注意函数 a 对应练习题作业： 或课外作业b ，而反函数 b 对（1） y=2x-5究 应 a 的关系。学生观察力 1(2) y=辩 x 的培养是不可忽视的，教师要启 (3) y=析 发同学观察、 分析x 1析，寻找特征， 归纳解答方法。引导学生反思本节课整个
12、的学习过程， 使它们从 反思有利于学知识、方法、能力三个维度上得到如下认识： 生进一步搞清知识反 1 ）本节我们很好的利用映射中对应法则引入了 的产生及形成过程，两个特殊的函数， 通过对比寻找它们对应法则的关系， 掌握获取知识的方思 很自然的引入了反函数的概念， 揭示了反函数概念的本 法，提高学生分析质，也为后来求得函数的反函数过程做好相应的铺垫。 问题、解决问题的与 2 ）找反函数概念的过程，应用于实际问题中求 能力，以形成良好函数的反函数，既巩固了概念，又深化了对概念的 的认知结构评 理解，也感受了具体求反函数方法的科学性、重要性。3 ）在学习得到和运用新概念的过程中，我们的价 收获不仅是知识，更重要的是认识知识的过程，类比转化的思想是学习数学的重要思想。4）引导学生反思与评价在本节课的学习活动中，我们得到了互为反函数的两个函数，那么它们的图像之间又有什么关系呢？（课下完成以下实验）课外实验：在一张薄的白纸上画一个直角坐标系 Oxy，然后 为下一节课做铺画出函数 y=3x 的图像 l 1, 和 y=3x 的图像 l 2, 再画出 垫，引出互为反函直线 y=x. 将白纸沿直线 y=x 折叠， 观察 l 1 与 l 2 是 数的两个函数图像否完全重合 ？ 之间的关系
