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1、2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1已知为整数,且满足,则的可能的值有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答】 C.由已知等式得,显然均不为0,所以0或.若,则.又为整数,可求得或所以或.因此,的可能的值有3个.2已知非负实数满足,则的最大值为 ( )A B C D【答】 A.,易
2、知:当,时,取得最大值.3在中,为的中点,于,交于,已知,则 ( )A B C D【答】 B.因为,所以四点共圆,所以,又,所以,所以.又易知,所以,从而可得.46张不同的卡片上分别写有数字2,2,4,4,6,6,从中取出3张,则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 ( )A B C D【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同,有2228种取法;若取出的3张卡片上的数字有相同的,有3412种取法.所以,从6张不同的卡片中取出3张,共有81220种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长,只可能是:(2,4,4),(4,4,6),(2,6,6),(4,6,6),由于不同的卡
3、片上所写数字有重复,所以,取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有428种.因此,所求概率为.5设表示不超过实数的最大整数,令.已知实数满足,则 ( )A B C D1【答】 D.设,则,所以,因式分解得,所以.由解得,显然,所以1.6在中,在上,在上,使得为等腰直角三角形, ,则的长为 ( )AB C D【答】 A.过作于,易知,.设,则,故,即.又,故可得.故.二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1已知实数满足,则_【答】 0.由题意知,所以整理得,所以0.2使得不等式对唯一的整数成立的最大正整数为 【答】144.由条件得,由的唯一性,得且,所以,所以.当时,由可得
4、,可取唯一整数值127.故满足条件的正整数的最大值为144.3已知为等腰内一点,为的中点,与交于点,如果点为的内心,则 【答】.由题意可得,而,所以,从而可得.又,所以,从而.所以, ,所以.4已知正整数满足:,则 【答】36.设的最大公约数为,均为正整数且,则,所以,从而,设(为正整数),则有,而,所以均为完全平方数,设,则,均为正整数,且,.又,故,即.注意到,所以或.若,则,验算可知只有满足等式,此时,不符合题意,故舍去.若,则,验算可知只有满足等式,此时,符合题意.因此,所求的.第二试 一、(本题满分20分)设实数满足,求的值解 由已知条件可得,.设,则有, 5分联立解得或. 10分若
5、,即,则是一元二次方程的两根,但这个方程的判别式,没有实数根; 15分若,即,则是一元二次方程的两根,这个方程的判别式,它有实数根.所以. 20分二(本题满分25分)如图,在平行四边形中,为对角线上一点,且满足, 的延长线与的外接圆交于点. 证明:证明 由是平行四边形及已知条件知.5分又A、B、F、 D四点共圆,所以,所以, 15分所以. 20分又,所以,故. 25分三(本题满分25分)设是整数,如果存在整数满足,则称具有性质.在1,5,2013,2014这四个数中,哪些数具有性质,哪些数不具有性质?并说明理由.解 取,可得,所以1具有性质.取,可得,所以5具有性质.5分为了一般地判断哪些数具有性质,记,则.即 10分不妨设,如果,即,则有;如果,即,则有;如果,即,则有;由此可知,形如或或(为整数)的数都具有性质.因此,1,5和2014都具有性质. 20分若2013具有性质,则存在整数使得.注意到,从而可得,故,于是有,即,但201392236,矛盾,所以2013不具有性质. 25分5