《2点三次Hermite插值多项式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2点三次Hermite插值多项式（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第四节 Hermite 插值多项式要求在节点上函数值相等，而且要求在节点上若干阶导数也相等。即,要求插值函数P(x)满足在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅把此类插值多项式称为埃米尔特（Hermite）插值多项式或称带导数的插值多项式，记为H (x)。 2两点三次Hermit插值已知：构造一个次数3的多项式H3(x) ，满足插值条件：（*）3两点三次Hermit插值（续1）直接设待定系数将使计算复杂，且不易推广到高次。回忆Lagrange插值基函数的方法，引入四个基函数使之满足54两点三次Hermit插值（续2）其中都是次数为3的多项式则H3(x)是一个次数3的多项式且满足插值条件（*）
2、5基函数求法：求36同理7设 由0(x0)=1 ，得 , 于是同理有8定理：满足插值条件（*）的三次Hermite插值多项式H3(x)存在且唯一。9三次Hermite插值多项式的余项u定理 设 f(x) 在包含x0, x1的区间 a, b内存在四阶导数，则对任意xa,b ，总存在一个(a, b)（依赖于x）使10证明: 由插值条件知 R3(x0)=R3(x0)=0, R3(x1)=R3(x1)=0构造辅助函数利用 f(x) H3(x)=C(x)(x x0)2(x x1)2取 x 异于 x0 和 x1, 设11反复应用Rolle定理, 得F(4)(t)至少有一个零点设为(a, b)显然,F(t)
3、有三个零点x0, x, x1,由Rolle定理知, F(t)至少有两个零点t0, t1满足x0t0t1x1,而x0和x1也是F(t)零点, 故F(t) 至少有四个相异零点.12例 求一个次数为4的多项式P4(x)，使它满足P4(0)= P4(0)=0， P4(1)= P4(1)=1 ，P4 (2)=1n先构造满足P2(0)= 0， P2(1)=1 ，P2(2)=1的插值多项式P2 (x)，易得 设 其中A，B为待定系数.n利用两个导数条件确定系数A、B. 13由解得A=1/4, B=-3/4故14n第五节 分段低次多项式插值15从插值余项角度分析 为了提高插值精度，一般来说应该增加插值节点的个
4、数，这从插值余项的表达式也可以看出，但不能简单地这样认为，原因有三个：一.高次插值的龙格 (Runge)现象16插值余项与节点的分布有关；余项公式成立的前提条件是 有足够阶连续导数（即函数足够光滑），但随着节点个数的增加，这个条件一般很难成立；随着节点个数的增加， 可能会增大。随着节点个数增加到某个值，误差反而会增加。17增加插值多项式的次数并不一定会有更好的插值结果，这是因为高次多项式的振荡是很厉害的.例：在5, 5上考察 的 Ln(x)。取 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，端点附近抖动越大，称为龙格（Runge）
5、 现象Ln(x) f (x)n=2n=5n=1018分段低次插值19分段插值的概念n 所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步，先将所考察的区间作一分划 并在每个 子区间上构造插值多项式，然后把它们装配在一起，作为整个区间 上的插值函数，即称为分段多项式。20定义 设f(x)是定义在a,b上的函数，在节点 a= x0 x1x2xn-1xn=b,的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,yn-1 ,yn ,若函数 满足条件 (1) 在每个子区间xi , xi+1(i=0,1,2,n-1)上是线性插值多项式; (2) , i=0,1,2,n (3) 在区间a
6、, b上连续; 则称 是f(x)在a ,b上的分段线性插值函数。1.问题的提法二、分段线性插值212.分段线性插值函数的表达式 由定义， 在每个子区间xi ,xi+1(i=0,1,2,n-1)上是一次插值多项式;22分段线性插值函数23分段线性插值曲线图： 注：由图象可知， 在节点处的光滑性较差，为了提高光滑性，讨论分段三次埃尔米特插值。243.分段线性插值函数的余项定理：设 f(x) 在a,b上有二阶连续导数 f(x) ，则对其中，25证明：在每个小区间 在区间 上 由于26缺点：分段插值函数只能保证连续性， 失去了原函数的光滑性。 优点：计算简单； 适用于光滑性要求不高的插值问题。 27281.问题的提法分段三次Hermite插值多项式存在唯一三.分段三次Hermite插值292.分段三次Hermite插值的表达式当 xxi，xi+1时, 两点Hermite插值( i= 0,1,2,n-1)30n定理： 设 f(x)在a,b上具有四阶连续导数，S3(x)是其分段三次Hermite插值函数，则对任一给定的 , 有31部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
