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1、无穷级数 无穷级数数项级数幂级数傅氏级数第九章 第九章 无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 第一节四、小结 第九章 福 州 大 学3一、常数项级数的概念 引例 1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形, 这个和逼近于圆的面积 A .设 a0 表示即内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正 边形的面积为福 州 大 学4问题： (通常和的计算是有限次的) 如何进行无限次和计算？福 州 大 学5定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数， 其中第 n 项
2、叫做级数的一般项,次相加, 简记为(常数项)级数的前 n 项的和称为级数的前n项部分和.部分和数列: 收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和, 记作注意1. 只有收敛时才有“和” 之说!注意2. 一般项无敛散之说！ 福 州 大 学6(部分和数列 有极限S )则称无穷级数收敛 .当级数收敛时, 称差值则称无穷级数发散 .证明级数敛散的最基本方法 为级数的余项.如引例中n充分大后, 正n多边形的面积就可近似为圆的面积.福 州 大 学7解 发散 发散 收敛 发散福 州 大 学8 解：福 州 大 学9技巧:利用 “拆项相消” 求和福 州 大 学10解福 州 大 学11说明: 级数各项乘以非零常数后其
3、敛散性不变 . 二、无穷级数的基本性质 性质1. 若级数收敛于 S ,则各项乘以常数 c 所得级数也收敛 ,证: 令则这说明也收敛 , 其和为 c S . 问: 级数各项乘以常数后其敛散性不变 , 对吗? 即其和为 c S .(区别于有限项和的性质)福 州 大 学12性质2. 设有两个收敛级数则级数也收敛, 其和为证: 令则这说明级数也收敛, 其和为福 州 大 学13则级数性质2. 设有两个收敛级数也收敛, 其和为(即可拆分)注意： 说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则必 . 但若二级数都发散 ,则(1) 性质2 表明两收敛级数可逐项相加或减 . 发散不一定发散福 州 大 学14性
4、质3. 在级数前面加上或去掉有限项,或改变有限项的值不会影响级数的敛散性.证: 将级数的前 k 项去掉,的部分和为数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为类似可证前面加上或改变有限项的情况 .极限能否存在是相同, 故新旧两级所得新级数福 州 大 学15性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和. 证: 设收敛级数若按某一规律加括弧,例如则新级数的部分和数列 与 原级数部分和数列 关系?的 一个子数列. 为结论: 数列收敛于S (数) 所有子数列都要收敛于S 问: 若加括号后的级数收敛, 则原级数收敛吗?推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必 .注意: 收敛级数去括弧后所成的级数 .发散不一定收敛福 州 大 学16例. 判断级数的敛散性:解: 考虑加括号后的级数发散 ,从而原级数发散 .福 州 大 学17三、级数收敛的必要条件 设收敛级数则必有证: 可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必 .例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.发散福 州 大 学18注意:收敛例如, 调和级数虽然但此级数发散 .事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则但矛盾! 所以假设不真 .福 州 大 学19四、小结常数项级数的基本概念基本审敛法
