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1、第三章 地球重力场及地球形状的 基本理论,31 地球及其运动的基本概念32 地球重力场的基本原理（简介）33 高程系统34 垂线偏差和大地水准面差距35 关于确定地球形状的基本概念,31 地球及其运动的基本概念（略）,有关地球的基本形状、地球外层大气、地球自转与公转等常识，中学地理及物理学中已学过。课后复习即可。,32 地球重力场的基本原理（简介）,我们知道，地球上的任何一个质点，都将同时受到地心引力和地球自转离心力的作用。引力与离心力的合力称为重力。上一章已述及，受地球重力作用的空间范围，叫做重力场。在该空间中，每一点都有一个唯一的重力矢量与之相对应。研究地球的重力场，在大地测量学中可用以推
2、求平均地球椭球的形状，建立国家大地网和国家水准网（大地水准面是一个重力等位面）；在空间科学中用以确定空间飞行器受地球引力场作用的轨道改正；在固体地球物理学中用以研究地球内部构造及矿产资源分布。,一、引力与离心力如图所示，地面上质量为m的质点受到地球引力F和离心力P的作用。F和P的合力称作地球重力g：g = F + P假设地球是质量为M的圆球，则：对于单位质点，有：f为万有引力常数，r为质点至地心的距离。fM称作地球引力常数,其值为 3.9861014（m3/s2）。地球并非密度分布均匀的圆球，故实际的F与上述公式计算值有差异。,离心力P指向质点所在平行圈（纬圈）半径的外方向，其值为：对于单位质
3、点，有：为地球自转角速度，为质点所在平行圈的半径，随纬度而变。显然，离心力P在赤道上最大，在两极为零。据计算， P max F /200。由此可见，地球上的质点受到的重力主要由地心引力所致。其它天体（太阳、月亮等）的作用力大多数情况下可忽略。,二、引力位和离心力位由理论力学可知，如果某一空间（有限或无限）中的任意一点都有一定力的作用，而力的大小与方向只与该点的位置有关，则这一空间称为力场。力场的特性：力场所做的功与路径无关，只与起点和终点有关。这样的力称为保守力。引力与离心力都是保守力。引力位：单位质点受物质M的引力作用所产生的位能称为引力位能，简称引力位，或者说将单位质点从无穷远处移动到该点
4、时所做的功。即：,推导如下根据万有引力定律，两质点M和m之间的引力为：假如使两质点间的距离沿力线方向向外增加dr，则必须做功：此功等于引力位能的减少：积分，得引力位能：r时, V=0。所以 C=0 ，则有取单位质点，即m=1，则：,根据牛顿第二定律：得加速度：所以：负号的意义：加速度方向与向径向量方向相反。比较（3-33）和（3-37）可知：质体M对单位质点的引力就等于加速度值。,地球总体的位函数等于组成其质量的各基元（单元）分体的位函数之和：式中，dm是地球单元质量（相当于dM）；r为dm至被吸引的单位质点的距离；（M）表示对整个地球质量M进行积分。将（3-38）式推广到空间直角坐标系中，则
5、加速度a可分解为3个分量。在这种情况下，由引力位V构成了这样一个加速度引力场：单位质点的物体在引力场中的加速度等于引力位的导数，方向与向径方向相反（3-38）；引力位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度(或引力)向量的负值：,单位质点受物质M的引力作用产生的位能称为引力位。类似地，单位质点受地球自转离心力作用产生的位能称为离心力位。假设地面上单位质点沿纬圈半径方向向外移动距离d，则必须做功，此功等于离心力位能的增量：由（3-29）式知：,Q就是离心力位，其一阶导数为离心力的标量函数（P）。,（3-48）式为离心力位函数。离心力位Q对位置坐标的偏导数分别为：,三、重力位 重力是引力
6、和离心力的合力，重力位W是引力位V和离心力位Q之和：求重力位W对三坐标轴的偏导数，得重力分力或重力加速度分量：重力是矢量。其方向就是铅垂线方向；其模为：,重力在x、y、z三个方向的方向余弦： 重力位在任意方向l的偏导数等于重力在该方向上的分力（此处仅考虑大小）： 由上式知，当g与l相垂直时，d / dl =0，即：常数连结重力位相同的点所构成的面叫重力等位面，又称“重力等势面”。它处处与重力的方向垂直。由测量学知，水准面就是一个处处与铅垂线垂直的曲面，所以在水准面上，各点的重力位能相等，即水准面是一个重力等位面。常数的重力等位面（水准面）有无限多个。其中与完全静止的海洋面（通常为平均海水面）重
7、合的重力等位面称为大地水准面。,如果令g与l的方向相反，即夹角等于，则有：由该式可知：重力位能差为dW的两个相距很近的水准面之间的距离dl与重力的模g有关。由于重力的大小既与纬度有关，又与地球内部物质密度分布有关，是一个变量，即地面上各点的重力不相同，因此，对于确定的dW，dl随g的变化而变化，既不保持常量，也不会改变符号或等于零，说明水准面之间既不平行，也不相交和相切。,对于某一单位质点，作用于其上的重力在数值上等于它所产生的重力加速度的数值。所以，重力采用与重力加速度相同的量纲，单位是伽(Gal） 【1Gal =cm /s】，或毫伽(mGal）【1mGal = Gal/1000=10-5m
8、 /s】或微伽(Gal）【1Gal = mGal/1000=10-8m /s】由于地球的极曲率（ab）及周日运动（ 2 ）的原因，重力有从赤道向两极增大的趋势 赤道重力值约978Gal； 两极重力值 约983Gal； 除两极和赤道外其它地面点的重力近似值为 980Gal。,四、地球的正常重力位和正常重力 1、地球正常重力位地球重力位包括引力位和离心力位，其计算公式为(3-53) :式中第二项为离心力位，比较容易计算；第一项是引力位，无法精确计算，因为我们无法准确知道地球内部物质密度分布以及地球的真实形状。为便于研究，人们将地球重力位分成两部分，即： 地球重力位 = 正常重力位 + 扰动位正常重
9、力位是正常引力位与离心力位之和，是一个函数简单、不涉及地球真实形状和密度便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力位。地球重力位与正常重力位之差便是扰动位。计算出正常重力位之后，若能想法求出它同地球重力位的差异(扰动位)，便可求得大地水准面与这已知形状(正常位水准面)的差异，从而确定地球重力位和地球形状。,地球上某点 的正常重力位计算公式（推导过程见P64-71）为：式中： M为地球质量，fM为地球引力常数，r为质点s至地心的距离； a为地球长半径；为地球自转角速度；xm、ym、zm为地面质点的空间直角坐标；为地球形状参数。,与正常重力位相对应的水准面叫正常位水准面。不同的正常重力位对应不
10、同的正常位水准面。在（3-102）式中，对r和取不同的值，就得到一簇正常位水准面。与大地水准面相近的正常位水准面方程为：由（3-106）式决定的正常位水准面叫做水准椭球面。,2、正常重力公式（1）一般公式（克莱罗定理）：式中，0为水准椭球面上所求点的正常重力； e为赤道上的正常重力；叫重力扁率，为椭球扁率; P为极点处的正常重力;其它符号意义同前。,（2）精密公式：式中，0为水准椭球面上所求点的正常重力； B为所求点的大地纬度；其它符号意义同前。（3）高出水准椭球面H米处的正常重力计算公式：,不同的时期，所用观测数据不同，从而使正常重力计算公式中的参数各异。如：19011909年赫尔默特公式：
11、1930年卡西尼公式： 1975年国际椭球正常重力公式【西安80用】：GS84坐标系中的椭球重力公式：上述各式中的纬度即大地纬度B。,3、正常重力场参数在物理大地测量中，正常椭球重力场可用4个基本参数决定。它们是： 其中：地球正常(水准)椭球的基本参数(又称地球大地基准常数)也有4个。它们是：其中：,五、正常椭球和水准椭球，总地球椭球与参考椭球 1、正常椭球和水准椭球前已述及，与正常重力位相对应的水准面叫正常位水准面，它所包围的形体是一个旋转椭球体。在物理大地测量中，该旋转椭球体叫正常椭球，也叫水准椭球或等位椭球。正常椭球面是水准面的规则形状（旋转椭球面）。引入正常椭球后，地球重力位被分成正常
12、重力位和扰动位两部分，实际重力也被分成正常重力和重力异常两部分。对于正常椭球，除了确定其4个基本参数：a、J、fM和外，也要进行定位和定向。正常椭球的定位是使其中心和地球质心重合，定向是使其短轴与地轴重合，起始子午面与起始天文子午面重合。,2、总地球椭球在几何大地测量学中，为研究全球性问题，需要构建一个与大地体（大地水准面所包围的形体）符合得最好的椭球，称作总地球椭球。总地球椭球必须满足以下三个条件：1）总地球椭球的中心与大地体的重心相重合，两者的赤道面也相合（短轴与地轴重合），起始大地子午面与起始天文子午面重合；2）总地球椭球的体积与大地体的体积相等；3）总地球椭球面与大地水准面的高差的平方
13、和为最小，即：从几何和物理两个方面来研究全球性问题，我们可把总地球椭球定义为最密合于大地体的正常椭球。与总地球椭球对应的正常椭球参数是根据天文大地测量、重力测量及人卫观测资料一起处理确定的，并由国际组织发布。,3、参考椭球总地球椭球是一个在全球范围内与大地体符合得最好的椭球，对于研究地球形状来说是十分必要的。对于某个国家或地区而言，“全球范围内符合得最好”并不意味着在本地区的符合也最好。因此，对于国家或地区测绘工作来说，往往选择一种最符合本地区的实际情况、最适合于本地区需要的椭球，即采用“大小及定位定向最接近于本国或本地区的地球椭球”，叫参考椭球。这种所谓的“最接近”，体现在两个面最为接近，以
14、及同点的法线和垂线最为接近。在选择参考椭球时，除了选定椭球的形状和大小外，还必须将它与大地水准面的相对位置关系确定下来，这个工作称为椭球的定位与定向。（有关椭球定位的内容已在第2章介绍）参考椭球不是唯一的。参考椭球面是测量计算的基准面，与其相垂直的法线是测量计算的基准线。【测量外业的基准线是铅垂线，基准面是大地水准面】,上节回顾一、相关概念及公式引力与离心力引力位与离心力位重力位、正常重力位、扰动位正常重力、重力异常公式（3-57）、（3-117） 、（3-120）二、关于椭球正常椭球、水准椭球 （物理）总地球椭球、参考椭球 （几何）,33 高程系统,一、一般说明确定一个点的空间位置，除需要平
15、面坐标X、Y之外，还需要表示高度位置的高程H。地面点的高程是指该点至某一基准面（起算面）的垂直距离。地面点高程的统一起算面就叫做高程基准面（一般为曲面）。,点高程,高程基准面,以椭球面（参考椭球或总地球椭球）为基准面的高程叫大地高。某点的大地高是指该点至椭球面的垂直距离，即地面点到通过该点的椭球面法线与椭球面的交点间的距离（沿法线方向）。大地高也叫椭球高，一般用H表示。大地高是一个纯几何量，不具有物理意义。同一个点，在不同的基准下具有不同的大地高。（ GPS观测直接得到大地高）以大地水准面为基准面的高程叫正高。某点的正高是该点到通过该点的铅垂线与大地水准面的交点之间的距离，用H正或Hg表示。（
16、正高系统仅适用于理论研究） 以似大地水准面为基准的高程叫正常高。某点的正常高是该点到通过该点的铅垂线与似大地水准面的交点之间的距离，用H正常或Hr表示。正常高系统是我国法定的高程系统。,有关似大地水准面的概念以后还会详细介绍。,Hg,Ng,Hr,大地高可看成是由两部分组成：地形高(H正或H正常)部分和大地水准面高(或似大地水准面高) 部分。地形高基本上确定着地球自然表面的地貌，即地面相对于大地水准面之间的高低。大地水准面高度又称大地水准面差距（大地水准面到参考椭球面的距离） ，用N或Ng表示；似大地水准面高度又称高程异常（似大地水准面到参考椭球面的距离） ，用表示。,N或基本上确定着大地水准面或似大地水准面的起伏。N和都不是固定不变的，而是因地而异。大地高与正高之间的关系： H = H正+N大地高与正常高之间的关系：H = H常+ ,上一节已经提及，水准面之间既不平行，也不相交和相切：重力加速度g主要与所在位置的纬度有关，如右上图。因此，随着纬度的变化，同一水准面上各点的重力加速度g将不同。在同一水准面上的A、B两点，因gAgB，故 dlA（hA） dlB（hB）由此可见，两个邻近水准
