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1、第五节折叠与剪拼一、课标导航二、核心纲要1. 折叠(1) 图形的折叠是指某个图形或其部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴(2) 思路：图形的折叠问题分为两类题型一是考察图形折叠的不变性：只需抓住不变量，即对应边相等，对应角相等；二是考察图形折叠的折痕：只需抓住折痕垂直平分对应点所连的线段且平分对应边所成的夹角(3) 常规做法折叠后的图形与原图形全等，利用全等可以得到对应角相等和对应边相等；折痕是折叠后图形与原图形对应点连线的垂直平分线；结合勾股定理的有关学问解决问题2. 分割(1) 把图形分割成面积相等的几部分（等面积）将以下图形分割成面积相等的两部分1) 三角形：任意一边的中线2) 四边形平行
2、四边形：过对角线交点0 的任意一条直线；梯形：取上下底中点E、F，连 EF，取 EF中点 O或中位线中点 O，过点 0 且与上下底相交的任意一条直线；一般四边形：如下图所示，过点A 作一条直线等分四边形ABCD的面积，方法一：先用折线等分面积，再利用等积变换连接BD，取 BD中点 E，连接 AE、CE、AC，过点 E 作AC的平行线 EF交 BC于点 F，就 AF 为所求；方法二：先将四边形转化成三角形，连接AC，过点 D 作 DEAC 交 BC延长线于点 E，连接 AE，取BE中点 F，连接 AF， AF为所求(2) 把图形分割成外形相同的几部分(3) 把图形分割成轴对称或中心对称图形（等腰
3、三角形或特别四边形）(4) 把图形分割成满意特定要求的几部分，如：把一个三角形分割成两个三角形只有符合以下条件之一的三角形才能被分割成两个等腰三角形：一个角等于90 ;一个角是另一个角的2 倍（三个角为x,2x,1803 x, x45 ;一个角是另一个角的3 倍如下图所示：3. 剪拼图形剪拼是一种常见的几何活动，“剪”就是将整体的图形分割为几个部分；而“拼”就是把如干分散的图形组合成为一个整体图形思路：此类问题一般只需依据剪拼过程中面积不变即可本节重点讲解：三大问题三、全能突破基 础 演 练1. 将一张正方形纸片ABCD按图 18 -5 1 所示的方式连续折叠三次，折叠后再按图中所示沿MN剪裁
4、，就可得到 A. 多个等腰直角三角形B四个相同的正方形C - 个等腰直角三角形和一个正方形D两个相同的正方形2. 如图 18-5-2所示，在梯形纸片 ABCD中，B60 o , 将纸片沿着对角线AC折叠，折叠后点 D 刚好落在AB 边上的点 E 处，小明认为： 假如 E 是 AB的中点， 就梯形 ABCD是等腰梯形； 小亮认为： 假如梯形 ABCD是等腰梯形，就 E 是 AB的中点，对于他们两人的说法，你认为A. 两人都正确B小明正确，但小亮不正确C小明不正确，但小亮正确D两人都不正确3. 同学们在拍照留念的时候最喜爱做一个“V”字型的动作我们将宽为2cm 的长方形按图 18-5-3所示进行翻
5、折，便可得到一个美丽的“ V”，假如“ V”所成的锐角为60 , 那么折痕 PQ的长是4. 如图 18-5-4所示， 菱形公园内有四个景点，请你用两种不同的方法，按以下要求设计成四个部分：1用直线分割； 2 每个部分内各有一个景点；3 各部分的面积相等（可用铅笔画，只要求画图正确，不写画法）5. 如图 18 -5 5 所示，已知五边形ABCDE中 ABED，AB90 0 ，就可以将该五边形ABCDE分成面积相等的两部分的直线有条，满意条件的直线可以这样确定.6. 我们通常可以对一些图形进行剪切，并利用图形的轴对称、 平移、旋转等进行图案设计，如图 18-5-6a 中，可以沿线段AE 剪切矩形
6、ABCD，再将 ABE 通过变换与梯形AECD拼接成等腰梯形请按以下要求进行图案设计：(1) 把矩形剪切 2 次拼接成一个菱形，请在图18-5-6b中画出剪切线，再画出拼接示意图；(2) 把矩形剪切 1 次拼接成一个菱形，请在图18-5-6c中画出剪切线，再画出拼接示意图，能 力 提 升7. 如图 18-5-7所示，平行四边形ABCD中， AC与 BD相交于点 E，AEB45 , BD2, 将 ABC沿 AC所在直线翻折到同一平面内，如点B 的落点记为B / , 就 DB / 的长为8. 如图 18-5-8所示，在矩形 ABCD中， AB8, BC4, 将矩形沿 AC折叠，就重叠部分 AFC的
7、面积为9. 如图 18-5-9所示，矩形纸片 ABCD中， AB6 , BC10. . 第一次将纸片折叠，使点B 与点 D重合 ,折痕与 BD交于点O1 ；设 O1D的中点为D1 ，其次次将纸片折叠使点B 与点D 1重合，折痕与 BD交于点O 2; 设 O 2D1 的中点为D 2, 第三次将纸片折叠使点B 与点D 2 重合，折痕与 BD交于点O3,. 按上述方法折叠，第 n 次折叠后的折痕与BD交于点On , 就BO1, BOn10. 如图 18 -5 -10所示，将边长为2 的菱形 ABCD纸片放置在平面直角坐标系中，已知B45 .(1) 画出边 AB沿 y 轴对折后的对应线段A/ B/ ,
8、 A/ B / 与边 CD交于点 E；(2) 线段CB /的长为(3) 点 E 的坐标是11. 如图 18 -5 -11 所示，正方形纸片 ABCD中， E 为 BC的中点，折叠正方形，使点A 与点 E 重合，压平后， 得折痕 MN，设梯形 ADMN的面积为 S，梯形 BCMN的面积是 T，求 S:T 的值，12. 图 18 -5 -12所示是一个等边三角形，按以下要求分割图形(1) 用 1 条线段把图 a 澎 割成 2 个全等三角形图形(2) 用 3 条线段把图 b 分割成 3 个全等三角形图形(3) 用 3 条线段把图 c 分割成 4 个全等三角形图形13. 如图 18 -5 -13所示，
9、给出了 5 个拼图版，从中挑选四个拼图板，可以拼成一个矩形(1) 请你写出你挑选的四个拼图板的代码；(2) 请你画出拼出的这个矩形，在拼出的矩形中，标出拼图板的编号，画出拼图板上凹凸的部分14. 如图 18-5-14a所示，一张矩形纸片ABCD，其中 AD8cm, AB6cm, 先沿对角线 BD对折，点 C 落在点 C /的位置，BC / 交 AD于点 G.(1) 求证： AGC /G;(2) 如图 18-5-14b所示， 再折叠一次， 使点 D与点 A 重合， 得折痕 EN，EN交 AD于点 M，求 EM的长15. 如图 18 -5 -15 所示，在 AEF 中，EAF45 , AGEF 于
10、点 G，现将 AEG沿 AE折叠得到 AEB，将 AFG沿 AF 折叠得到 AFD，延长BE和 DF相交于点 C(1) 求证：四边形ABCD是正方形；(2) 连接 BD分别交 AE、AF 于点 M、N，将 ABM绕点 A 逆时针旋转，使 AB与 AD重合，得到 ADH，试判定线段 MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由(3) 如 EG4, GF6, BM32, 求 AG、MN的长16. 用尺规三等分任意角是数学中的一大难题，但我们可以用“折纸法”把一个直角三等分请你想出折法并证明，17. 如图 18 -5 -16所示，把一个等腰直角 ABC 沿斜边上的中线CD（裁剪线）剪一刀，把分割成的两
11、部分拼成一个四边形A /BCD，如示意图 18-5-16a所示（以下有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明）(1) 猜一猜：四边形A/ BCD肯定是;(2) 试一试：按上述的裁剪方法，请你拼一个与图18-5-16a不同的四边形，并在图18-5-16b中画出示意图探究在等腰直角 ABC中，请你沿一条中位线（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特别四边形(1) 想一想：你能拼得的特别四边形分别是；（写出两种）(2) 画一画：请分别在图18-5-16c、图 18-5-16d中画出你拼得的这两个特别四边形的示意图.拓展在等腰直角 ABC中， 请你沿一条与中线、中位线不同的裁剪线剪一刀，把分割成的
12、两部分拼成一个特别四边形(1) 变一变：你确定的裁剪线是，（写出一种）拼得的特别四边形是；(2) 拼一拼：请在图 18-5-16e中画出你拼得的这个特别四边形的示意图中 考 链 接18. （ 2021衢州）课本中，把长与宽之比为2 的矩形纸片称为标准纸请摸索解决以下问题：(1) 将一张标准纸ABCDABBC对予证明开，如图 18-5-17 a所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸吗？请给(2) 在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCDABBC进 行如下操作：第一步：沿过A 点的直线折叠，使B 点落在 AD边上点 F 处，折痕为 AE如图 18-5-17b甲所示）； 其次步：沿过D 点的直线折叠，使C 点落在 AD边上点 N 处，折痕为 DG如图 18-5-17 b乙所示）， 此时 E 点恰好落在 AE边上的点 M处；第三步：沿直线 DM折叠 如图 18-5-17b丙所示），此时点 G恰好与 N 点重合请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由(3) 不难发觉：将一张标准纸按图18 -5 -18 所示，一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸现有一张标准纸ABCD , A
