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1、第八章 第 6 节第 6 节空间向量及其运算最新考纲1.明白空间向量的概念，明白空间向量的基本定理及其意义，把握空间向量的正交分解及其坐标表示； 2.把握空间向量的线性运算及其坐标表示； 3.把握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判定向量的共线和垂直.知 识 梳 理1. 空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量第 23页共线向量或平行向量 假如空间一些向量的基线相互平行或重合，就这些向量叫做共线向量或平行向量共面对量平行于同一个平面的向量2. 空间向量的有关定理(1) 共线向量定理： 两个空间向量 a
2、，bb 0，ab 的充要条件是存在唯独的实数x，使 a xb.(2) 共面对量定理：假如两个向量 a，b 不共线，就向量 c 与向量 a，b 共面的充要条件是，存在唯独的一对实数x，y，使 cxayb.(3) 空间向量分解定理：假如三个向量a， b， c 不共面，那么对空间任一向量p， 存在一个唯独的有序实数组 x， y， z，使 pxayb zc.3. 空间向量的数量积及运算律 1数量积及相关概念两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点 O，作OAa，OBb，就 AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作 a，b，其范畴是 0， ，如 a， b 2 ，就称 a 与 b 相互垂直，
3、记作 ab.非零向量 a，b 的数量积 ab|a|b|cosa，b.2空间向量数量积的运算律：结合律： a bab；交换律： ab ba；安排律： abcab ac. 4.空间向量的坐标表示及其应用设 a a1， a2，a3， b b1， b2，b3.向量表示坐标表示数量积aba1b1 a2 b2 a3b3共线abb 0， Ra1 1b， a2b2，a3 b3垂直ab 0a0，b0a1b1a2b2a3b30123模|a|a2a2a2夹角a，ba0，b0cosa，ba1b1a2b2 a3 b3222222a1a2 a3 b1 b2b3常用结论与微点提示 1. 在平面中 A， B， C 三点共线的
4、充要条件是： OAxOB yOC其中 x y1， O 为平面内任意一点 .2. 在空间中 P， A，B，C 四点共面的充要条件是： OP xOA yOBzOC其中 xyz1，O 为空间任意一点 .3. 向量的数量积满意交换律、安排律，即a bb a， ab cabac成立，但不满意结合律，即 ab c a bc不肯定成立 .诊 断 自 测1. 摸索辨析 在括号内打“”或“” 1空间中任意两非零向量a，b 共面.(2) 对任意两个空间向量 a， b，如 ab 0，就 ab.(3) 如a，b，c是空间的一个基底，就 a，b，c 中至多有一个零向量 . 4如 ab0，就 a， b是钝角 .解析 对于
5、2，由于 0 与任何向量数量积为0，所以 2不正确；对于 3，如 a，b，c 中有一个是 0，就 a，b，c 共面，所以 3不正确；对于 4，如a，b，就 ab0，故4不正确 .答案 1 2 3 42. 如 a，b，c为空间的一组基底， 就以下各项中， 能构成基底的一组向量是 A.a， ab，abB.b， ab，abC.c，a b，abD.a b，ab，a2b解析 如 c， a b，ab 共面，就 cabma bmamb，就 a，b，c 为共面对量，此与 a， b，c 为空间向量的一组基底冲突，故c，ab，ab 可构成空间向量的一组基底 .答案 C3. 如下列图，在四周体 OABC 中， OA
6、 a，OBb，OCc，D为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，就 OE 用 a， b，c表示.解析OE1 1 11 111 222OA AE a AD a OD OA2a ODa OB222OC 1 1 12a4b4c.答案 1112a 4b4c4.已知 a2，3，1， b 4，2，x，且 ab，就|b|.解析 ab2 43 21x0，x2，|b| （ 4）222 2226.答案 265.已知 a cos ， 1， sin ，bsin ，1， cos ，就向量 ab 与 a b的夹角是.解析 abcos sin ，2，cos sin ，abcos sin ，0，sin cos ，ab ab
7、 cos2 sin2sin2 cos2 0，ab ab，就 ab 与 a b 的夹角是 2 .答案2考点一空间向量的线性运算【例 1】 如下列图，在空间几何体ABCD A1B1C1D1 中，各面为平行四边形， 设AA 1a， AB b，AD c，M，N， P 分别是 AA 1，BC，C1 D1 的中点，试用 a， b，c 表示以下各向量：1AP； 2MP NC1.解 1由于 P 是 C1D1 的中点，所以 AP AA 1A1D1D1P a AD 1 11ac1 ac 12D C2AB2b.2由于 M 是 AA1 的中点，所以 MP MA AP1 2A1AAP 1 a c 1 1 1 c.aba
8、b22222BC又NC1NCCC1 1 AA 11 AA 1 1a，2AD2c所以MP NC1 1 1 c a1abc2223132a2b 2c.规律方法1.选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求 .用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观看图形， 将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法就或平行四边形法就进行运算 .2.首尾相接的如干向量之和， 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法就称为向量加法的多边形法就.提示 空间向量的坐标运算类似于平面对量中的坐标运算.【训练 1】 如图，在长方体 ABCD A1B
9、1C1D1 中， O 为 AC 的中点.1 1 1化简： A1O2AB 2AD .2用AB ，AD ，AA 1表示OC1，就OC1 .1 1 1 解析 1A1O2AB 2AD A1O2ABADA1OAOA1OOAA1A.2由于OC1 1 AD ，ACAB221 所以OC1OCCC12AB ADAA11 1 2AB2ADAA 1.答案 1A1A21 1 AA 12AB2AD考点二共线、共面对量定理的应用【例 2】 已知 E， F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB， BC，CD，DA 的中点，用向量方法求证：(1) E， F，G，H 四点共面；(2) BD平面 EFGH .证明 1连
10、接 BG，就EGEB BGEB 1 BDEB BF EH EF EH ，2BC由共面对量定理知 E，F，G， H 四点共面 .2由于EH AH AE1 1 1 AB 1 ，2AD2AB2AD2BD由于 E，H， B， D 四点不共线，所以 EH BD.又 EH . 平面 EFGH ， BD.平面 EFGH ， 所以 BD平面 EFGH .规律方法1.证明空间三点 P，A，B 共线的方法(1) PAPB R；(2) 对空间任一点 O，OPxOA yOBx y 1. 2.证明空间四点 P，M ，A，B 共面的方法(1) MP xMA yMB ；(2) 对空间任一点 O，OPxOM zOByOA x
11、 yz1；(3) PMAB或PAMB 或PBAM .【训练 2】 已知 A，B，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点 O，如点 M 满足OM 1 OBOC.3OA(1) 判定MA ， MB ，MC 三个向量是否共面； 2判定点 M 是否在平面 ABC 内.解 1由已知 OAOBOC 3OM ，OAOM OM OBOM OC.即MA BM CM MB MC ，MA ， MB ，MC 共面.(2) 由1知MA ，MB ，MC 共面且过同一点 M.四点 M， A，B，C 共面，从而点 M 在平面 ABC 内.考点三空间向量数量积及应用 典例迁移 【例 3】 经典母题 如下列图，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E， F，G 分别是 AB，AD， CD 的中点， 运算：1EF BA； 2EGBD ；解 设AB a，ACb，AD c.就|a|b|c|1，a， b b，c c， a 60，1EF 1 1 1 ， BA a，DC bc，BDca222EF BA 1 1a1 2 1 c1caaa，222242EG BD EA AD DG AD AB
