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1、直线与圆位置关系知识点及练习文档 直线与圆的位置关系 一自主归纳，自我查验 1. 自主归纳 1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系 d r 相交； d r 相切； d r 相离 (2)代数法： 判别式 b2 4 ac 0 相交；0 相切； 0 相离. 2圆与圆的位置关系 设圆 O 1 ：( _ a 1 )2 ( y b1 )2 r 21 ( r 1 0)， 圆 O 2 ：( _ a 2 )2 ( y b2 )2 r 22 ( r 2 0). 错误! ! 几何法：圆心距 d 与 r 1 ， r 2 的关系 代数法：联立两圆方程组成
2、方程组的解的情况 外离 d r 1 r 2 无解 外切 d r 1 r 2 一组实数解 相交 | r 1 r 2 | d r 1 r 2 两组不同的实数解 内切 d | r 1 r 2 |( r 1 r 2 ) 一组实数解 内含 0 d | r 1 r 2 |( r 1 r 2 ) 无解 【知识拓展】 1圆的切线方程常用结论 (1)过圆 _2 y 2 r 2 上一点P ( _ 0 ， y 0 )的圆的切线方程为 _ 0 _ y 0 y r2 . (2)过圆( _ a )2 ( y b ) 2 r 2 上一点P ( _ 0 ， y 0 )的圆的切线方程为( _ 0 a )( _ a )( y 0
3、 b )( y b ) r2 . (3)过圆 _2 y 2 r 2外一点 M ( _ 0 ， y 0 )作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 _ 0 _ y 0 y r2 . 2圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0 条；内切：1 条；相交：2 条；外切：3 条；外离：4 条 (2)当两圆相交时，两圆方程( _2 ， y 2 项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程 2. 自我查验 1、判断正误 (1) k 1 是 直线 _ y k 0 与圆 _2 y 2 1 相交 的必要不充分条件( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切( )
4、 (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交( ) (4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程( ) (5)过圆 O ： _2 y 2 r 2 上一点P ( _ 0 ， y 0 )的圆的切线方程是 _ 0 _ y 0 y r2 .( ) 2(教材改编)圆( _ 1)2 ( y 2) 2 6 与直线 2 _ y 50 的位置关系是( ) A相切 B相交但直线不过圆心 C相交过圆心 D相离 答案 B 解析 由题意知圆心(1，2)到直线 2 _ y 50 的距离 d |2 125|22 1 5 6且 2 1(2)5 0，所以直线与圆相交但不过圆心 2若直
5、线 _ y 10 与圆( _ a )2 y 2 2 有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A3，1 B1,3 C3,1 D( ，3 1， ) 答案 C 解析 由题意可得，圆的圆心为( a, 0)，半径为 2， | a 01|12 2 2，即| a 1| 2，解得3 a 1. 3(_ 湖南)若圆 C 1 ： _2 y 2 1 与圆C 2 ： _2 y 2 6 _ 8 y m 0 外切，则m 等于( ) A21 B19 C9 D11 答案 C 解析 圆 C 1 的圆心 C 1 (0,0)，半径 r 1 1，圆 C 2 的方程可化为( _ 3)2 ( y 4) 2 25 m ，所以圆心 C 2 (
6、3,4)，半径 r 2 25 m ，从而| C 1 C 2 | 32 4 2 5.由两圆外切得| C1 C 2 | r 1 r 2 ，即 1 25 m 5，解得 m 9，故选 C. 5(教材改编)圆 _2 y 2 40 与圆_2 y 2 4 _ 4 y 120 的公共弦长为_ 答案 2 2 解析 由 _2 y 2 40，_2 y 2 4 _ 4 y 120，得 _ y 20. 又圆 _2 y 2 4 的圆心到直线_ y 20 的距离为22 2.由勾股定理得弦长的一半为42 2，所以，所求弦长为 2 2. 二典型例题 题型一 直线与圆的位置关系 例 1：判断以下直线与圆 ( ) ( ) 4 2
7、12 2= - + - y _ 的位置关系： 0 2 4 3 = - + y _ 2 - = _ y 0 8 3 4 = - - y _ 破题思路：（1）几何方法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系 d r 相交； d r 相切； d r 相离 (2)代数法： 判别式 b2 4 ac 0 相交；0 相切； 0 相离. 答案:相交， 259p = d ； 相交， 255 3p = d ； 相切， 2 = d ； 变式训练 （1）(_ 湖北七市联考)将直线 _ y 10 绕点(1,0)沿逆时针方向旋转 15 得到直线 l ，则直线 l 与圆( _ 3)2 y 2 4 的位置关系是(
8、 ) A相交 B相切 C相离 D相交或相切 解析：选 B 依题意得，直线 l 的方程是 y tan 150 ( _ 1)33( _ 1)，即 _ 3 y 10，圆心(3,0)到直线 l 的距离 d |31|312，因此该直线与圆相切 （2） 已知圆 82 2= + y _ ，定点 P ( ) 0 , 4 ，问过点 P 的直线斜率在什么范围时，直线与圆相切、相离、相交。 题型二 圆的切线问题 例 2 当 k 为何值时，直线 l ：yk_5 与圆 C： 1 ) 1 (2 2= + - y _ (1)相交？ (2)相切？ (3)相离？ 答案：当512p k 时，相交；当512= k 时，相切；当51
9、2f k 时，相离； 求经过点(1，7)且与圆 252 2= + y _ 相切的切线方程 答案： 0 25 3 4 = - - y _ 或 0 25 4 3 = - + y _ 。 解析：设过点 (1， 7)的直线方程为 ( ) 1 7 - = + _ k y ，圆心 ( ) 0 , 0 到直线的距离5172= =+= rkkd ，解得:43-34或 = k . 变式训练（1）求由下列条件所决定的圆 42 2= + y _ 的切线方程： (1)经过点 P ( 3 ，1)； (2)经过点 Q(3,0)； (3)斜率为1. 求过点 A(3，3)且与圆 4 ) 1 (2 2= + - y _ 相切的
10、直线 l 的方程. 方法规律：圆的切线方程的 2 种求法 (1)代数法：设切线方程为 y y 0 k ( _ _ 0 )，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式 0 进而求得 k . (2)几何法：设切线方程为 y y 0 k ( _ _ 0 )，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离 d ，然后令 d r ，进而求出 k . 提醒 若点 M ( _ 0 ， y 0 )在圆 _2 y 2 r 2 上，则过M 点的圆的切线方程为 _ 0 _ y 0 y r2 . 题型三 圆的弦长问题 例 3：圆 截直线 所得弦长为（ ) A、 B、 C、1 D、5 【答案】A 【解
11、析】将 配方得：2 2( 2) ( 2) 2 _ y - + + = ，所以圆心到直线的距离为2 2 5 22 1 1d+ -= =+ +，弦长为2 212 2 2 62l R d = - = - = ，选 A 已知点 - -23, 3 P ，圆， 求过点 P 并满足下列条件的直线方程： 弦长为 8； 2 24 4 6 0 _ y _ y + - + + = 5 0 _ y - - =65 222 24 4 6 0 _ y _ y + - + + =2 2: 25 C _ y + = 弦长最大； 弦长最小； 题型四 圆与圆的位置关系 例 4：圆( _ 2)2 y 2 4 与圆( _ 2) 2
12、( y 1) 2 9 的位置关系为( ) A内切 B相交 C外切 D外离 答案 B 解析 (1)两圆圆心分别为(2,0)和(2,1)，半径分别为 2 和 3，圆心距 d 42 1 17. 32 d 32， 两圆相交 已知圆 ，圆 ，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长 【答案】 3 4 6 0 _ y - + = ,245. 变式训练：若圆 与圆 相切，求实数 的值 【答案】 1 m = 或 11 m = 【解析】将 配方得：2 2( 3) ( 4) 36 _ y + + - = .由于两圆相切，故d R r = - 或 d R r = + .圆心间的距离 5 d = = ，所以 5 6 m
13、 = - 或 5 6 m = + ，解之得1 m = 或 11 m = . 已知圆 ： 和圆 ： ，则当它们圆心之间的距离最短时，两圆的位置关系如何? 【答案】两圆相交 【解析】将 配方得： 2 2( ) 1 _ k y - + = .将配方得：2 2 ( 1) 1 _ y k + - + = .两圆心间的距离为2 2 21 1 20 ( 1) 2( )2 2 2d k k k = + - + = + + ，其最小值等于22.因为两圆的半径都2 21 :2 6 1 0 C _ y _ y + + - + =2 22 :4 2 11 0 C _ y _ y + - + - =2 2 2_ y m + =2 26 8 _ y _ y + + - 11 0 - = m2 26 8 _ y _ y + + - 11 0 - =1C2 2 22 1 0 _ y k_ k + - + - =2C2 2 22( 1) 2 0 _ y k y k k + - + + + =2 2 22 1 0 _ y k_ k + - + - =2 2 22( 1) 2 0 _ y k y k k + - + + + = 为 1，21 1 1 12- + ，所以两圆相交. 错例分析 （宋体小四加粗） 例 例 5 例 2 过点 A (4，3)作圆( _ 3)2 ( y 1) 2 1 的切线，求此切线的
