晶向与晶面,一、晶向,晶列 ：相互平行的直线系晶体性质的各向异性，表明晶体结构具有方向性晶向的特点 （1）一族平行晶列把所有格点包括无遗 （2）同族的相邻晶列的间距相等 （3）通过任一格点有无限多个晶列 （4 ）有无限多族平行晶列2.2 晶向指数和晶面指数,晶向通过晶体中任意两个原子中心连成直线来表示晶体结构的空间的各个方向晶面晶体结构一系列原子所构成的平面晶向指数和晶面指数是分别表示晶向和晶面的符号，国际上用iller指数（iller indices ）来统一标定求法1（平移法）1）确定坐标系2）过坐标原点，作直线（OP）与待求晶向平行；3）在该直线上取点（距原点最近），并确定该点P的坐标（x，y，z）4）该值乘最小公倍数化成最小整数u，v，w并加以方括号u v w即是1)晶向指数-uvw,设坐标，求坐标，化整数，列括号,求法2（两点法）,以晶胞的某一阵点为原点，以晶轴为坐标轴X、Y、Z，以晶胞的边长为三坐标轴的长度单位确定晶向上任两点的坐标(x1,y1,z1) (x2,y2,z2)计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2-z1 ；化成最小、整数比u：v：w ；放在方括号uvw中，不加逗号，负号记在上方 。
1、红线代表的晶向由两个结点的坐标之差确定,2、晶向指数同乘、除一个数，晶向不改变如012-0 1,如图为立方晶系： X轴、Y轴、Z轴；长度单位a=b=c=1例： OD为101； Om为：坐标1/2、1、1/2；化简后121；EF为：11 ,OA为X轴，OB为Y轴，OC为Z轴；长度单位a=b=c=1 确定OD的晶向指数：将坐标原点选在待定晶向上（O点），晶向指数为111确定CE的晶向指数11 ,例1:立方晶系晶向指数的标注,正交晶系一些重要晶向的晶向指数,例2：在一个面心立方晶胞中画出012和123晶向晶向指数还有如下规律：,（1）某一晶向指数代表一组在空间相互平行且方向一致的所有晶向 （2）若晶向所指的方向相反，则晶向数字相同符号相反仅对立方晶系适用！,立方系中OA、OB、OC边的晶向指数100、010、001、100、010、001等六个晶向，由于对称关系，它们的性质完全相同，用表示晶向族如右图2)晶面指数-（hkl）,例3：,（1）截距r、s、t分别为3，3，5,（2）1/r : 1/s : 1/t = 1/3 : 1/3 : 1/5,（3）最小公倍数15，,（4）于是，1/r，1/s，1/t分别乘15得到5，5，3，,因此，晶面指标为（553）。
晶面指数的例子,立方点阵中一些晶面的面指数,（010）（100）（120）（102）（111）（321）,例4：晶面指数的标注,截距取倒数化整数,例5：在一个面心立方晶胞中画出(012)和(122)晶面012)和(123)晶面的确定,例6：立方晶系晶面指数的标注,1.hkl分别对应xyz上的截距，不可互换; 2.若晶面与对应坐标平行，则截距为,在该坐标上的指数为0.晶面指数规律：(1)某一晶面指数代表了一组相互平行且无限大的晶面 (2) 若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面是以原点为对称中心，且相互平行的晶面如（110）和（110）互相平行几点说明：,立方晶系几组晶面及其晶面指标100）晶面表示晶面与a轴相截与b轴、c轴平行；（110）晶面表示与a和b轴相截，与c轴平行；（111）晶面则与a、b、c轴相截，截距之比为1:1:1,(100) (110) (111) 在点阵中的取向,思考题,晶体的晶面指数的个数有上限吗？例如（111，100，1）这样的晶面有吗？,理论上讲，晶面指数的个数是无限的，只要能找到极端复杂的晶胞但对实际的一个晶体，晶面的数目是一定的晶面族： 原子排列和分布规律完全相同，仅空间位向不同的一组晶面属于一个晶面族。
用hkl表示常存在对称性（立方晶系）高的晶体中在立方结构中若晶面指数和晶向指数的指数和符号相同，则该晶向与晶面必定是互相垂直即(hkl) uvw ,h=u k=v l=w 如：111 （111）、 110 （110）、100 （100）,三指数表示晶向和晶面，原则上适用于任何晶系，但用于六角晶系有一个缺点：等效的晶面不具有相同的指数例：六棱柱的两个相邻表面，在晶体学上是等价的，但其密勒指数却分别为(100)和(110)六角结构的四指数表示,解决办法：引入第四个坐标轴：a1,a2,c,不变，a3( a1+a2),引入四指数后，晶体学上等价的晶面具有类似的指数例如： 1010=(1010),(1100),(0110) 1120=(1120),(1210),(2110),指标的不唯一性,在确定六角晶系的晶向、晶面的四轴指标时，会出现新的问题：指标不唯一例如：a1轴的指标可以是1000，也可以是 2110.解决方法：加限制条件：前三个指标之和为0例如：晶向指标为u v t w,则u+v+t=0,故a1轴的指标应选2110.,六方晶系一些晶面的指数,六方晶系的晶面指数与晶向指数,a3 （a1a2）,2.3 晶面间距、晶面夹角和晶带定理,(1)晶面间距,两相邻近平行晶面间的垂直距离晶面间距，用dhkl表示，从原点作（h k l）晶面的法线，则法线被最近的（h k l）面所交截的距离即是。
通常，低指数的面间距较大，而高指数的晶面间距则较小,晶面间距愈大，该晶面上的原子排列愈密集；晶面间距愈小，该晶面上的原子排列愈稀疏晶面间距公式的推导,晶面位向,晶面指数确定了晶面的位向和间距对立方晶系,晶面的位向是用晶面法线的位向来表示的；,空间任意直线的位向可以用它的方向余弦来表示必须注意：,按以上这些公式所算出的晶面间距是对简单晶胞而言的，如为复杂晶胞（体心立方、面心立方），在计算时应考虑到晶面层数增加的影响例如在体心立方或面心立方晶胞中，上下底面（001）之间还有一层同类型的晶面（002）故，实际的晶面间距应为1/2d001dhkl除以2的情况：对于体心立方，当h+k+L=奇数，间距除以2；对于面心立方，当h、k、L三个数不全为奇数，或不全为偶数时，间距除以2；对于底心立方，当h+k+L=奇数，间距除以2；,例7：,立方晶胞中（111）晶面的晶面间距d111为2.035，求其（320）晶面间距d320立方晶系中，某一晶面包含（000）、（1/2 0 1/4）、（1/2 0 1/2）三点，画出此晶面，标注其密勒指数作图表示六方晶系中1213，（1120）.已知铜具有面心立方结构，其点阵常数为0.3615nm，计算铜晶体（111），（112）晶面间距。
2)晶面夹角,两晶向u1v1w1与u2v2w2间夹角：,晶面（hkl）与晶向uvw间夹角：,例：立方（111）与 100间夹角？ （111）与 （320）间夹角？ 111与 112间夹角？,(3)晶带定理相交于同一直线（或平行于同一直线）的所有晶面的组合称为晶带，晶带中的晶面称为共带面，该直线称为晶带轴同一晶带轴中的所有晶面的共同特点：所有晶面的法线都与晶带轴垂直晶带轴u v w与该晶带的晶面（h k l）之间存在以下关系 hu kv lw0 晶带定律 凡满足此关系的晶面都属于以u v w为晶带轴的晶带,如果（h1k1l1）（h2k2l2）（h3k3l3）属于同一晶带，则（nh1+mh2+jh3 nk1+mk2+jk3 nl1+ml2+jl3）仍属于上述晶带.,例：(110)、(311)在同一晶带，(421)是否也属于同一晶带,晶带定律的应用（1）,hu kv lw0,晶带定律的应用（2）,晶面1 (u1 v1 w1),hu kv lw0,晶带定律的应用（3）,晶轴1 u1 v1 w1,晶轴2 u2 v2 w2,晶轴3 u3 v3 w3,若,则,三个晶轴同在一个晶面上,晶带定律的应用（4）,晶面1 (h1 k1 l1),晶面2 (h2 k2 l2),晶面3 (h3 k3 l3),若,则,三个晶面同属一个晶带,例：(110)、(311)、(132)是否在同一晶带。
1)可以判断空间两个晶向和两个晶面是否垂直；(=90)(2)可以判断某一晶向是否在某一晶面上(或平行于该晶面)；（晶向与晶面法线间=90或 hu kv lw0 ）(3)若已知晶带轴，可以判断哪些晶面属于该晶带；(hu kv lw0 )(4)若已知两个晶带面为（h1k1l1）和（h2k2l2），则可用晶带定理求出晶带轴(应用1)；(5)已知两个不平行的晶向，可求出过这两个晶向的晶面(应用2) ；(6)已知一晶面和晶面上的任一晶向，可求出该面上与该晶向垂直的另一晶向；（联合方程组）(7)已知一晶面及其在面上的任一晶向，可求出过该晶向且垂直于该晶面的另一晶面 （联合方程组）,在实际晶体中，立方晶系最为普遍，因此晶带定理有非常广泛的应用三、晶体的对称性 crystalline symmetry symmetrization of crystals 对称性晶体的基本性质 对称元素（symmetry elements） 宏观对称性 元素,点群（point group）晶体中所有点对称元素的集合根据晶体外形对称性，共有32种点群空间群（space group）晶体中原子组合所有可能方式根据宏观、微观对称元素在三维空间的组合，可能存在230种空间群（分属于32种点群）,微观对称性,。