第四篇,振动与 波动,第11章,橡皮绳上传播横波时，在同一时刻，何处动能密度最大？何处弹性势能密度最大？何处总能量密度最大？何处这些能量密度最小？, 由动能、势能公式来看，波在传播过程中任一质元的动能和势能都随时间变化，且在同一时刻，位相相同，大小相等既动能达到最大值时，势能也达到最大；动能为零时，势能也为零a点：位移最大处，动能为零； 没有形变，形变势能为零b点：位移为零处，动能最大； 形变最大，形变势能最大讨论:介质质元（m = V）的机械能,因为弹簧振子是保守孤立系统，波动过程质元却与周围介质有相互作用 质元机械能不是常量，而是随时间作周期性变化，这与弹簧振子总的机械能是一常数不同整个过程，介质不积累能量所以波的传播过程也是能量的传播过程 质元（m = V）能量由0 逐渐增加为m2A2，表明该质元从外部吸收能量；由m2A2逐渐减少为0，表明该质元向外部输出能量体积元的总机械能,5. 半波损失,入射波与反射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分界处产生 的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失.,八、波的能量与传输,入射波与反射波在此处的相位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变.,Reflection of a Wave, Fixed End,Reflection of a Wave, Free End,杆没有给绳横向力的作用,绳给墙的力向上,墙给绳的力向下,反射时，脉冲反转。
反射时，脉冲不反转Hugh D. YongCarnegie Mellon University;Roger A. FerrdemaUniversity of California,Santa Barbara卡内基美隆大学 Carnegie Mellon University, CMU，加州大学圣塔芭芭拉分校University of California,Santa Barbara,驻波没有净能量的传递,最大位移处：,动能为零,势能集中波节附近,势能最大,动能、势能相互转换，能量交替在波腹和波节之间传递总的来看，不传播能量平衡位置处：,动能最大,势能为零,动能集中波腹附近,6. 驻波能量,例11. 距某反射壁 L=5处有一波源发出频率为 振 幅为A的平面余弦波波速为u, 若选波源处 为坐标原点, 初位相为零，求：,(1)此平面波的表达式,时间变化：,(2) 以x点为参考点，,(2)反射波的表达式 （假定无半波损失）,波由,解：(1),相干、等幅、相向,解法一：,解法二：,解法三：,(3)距 o为 /4 处 P 点的振幅,例11. 距某反射壁 L=5处有一波源发出频率为 振 幅为A的平面余弦波。
波速为u, 若选波源处 为坐标原点, 初位相为零，求：,驻,例12. 波长为的平面简谐波沿 x正向传播如图已知 Q 处振动方程为 , 波在M处遇 一波密媒质反射面, 且假设反射波振幅仍为A， 求：,（1）该平面简谐波方程；,解:,（2）反射波方程；,（1）以Q 为参考点,（3）驻波方程2）,以 P 为参考点，波由,由波程引起的位相：,+,?,整理后得,反射波为：,密,（3）,波腹,共10个波腹,入射波与反射波叠加成驻波，方程为,入射波反射波,改符号, +,有没有普遍性?,你的观点“有”还是“没有”,有,没有,半波损失（坐标原点的选择）,(1)取坐标原点距离反射点为四分之一波长的偶数倍,(2)取坐标原点距离反射点为四分之一波长的奇数倍,一般公式,弦的横振动,设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动 u(x,t): 坐标为x 的点在t时刻沿垂线方向的位移 求：细弦上各点的振动规律 以弦线所处的平衡位置为x轴，垂直于弦线且通过弦线的一个端点的直线为u轴建立坐标系波动方程的导出,选取不包括端点的一微元 (x, x+dx), 弦长dx 研究物理量遵循哪些物理规律？,研究对象:,简化假设：,(1)弦是柔软的 (不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向 (2)振幅极小, 张力与水平方向的夹角1和2 很小，仅考虑1和2的一阶小量，略去二阶小量 (3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略。
F为该段弦线所受垂直于平衡位置的合力，即u轴方向的合外力:,设 为u轴正向的单位向量，则有,将所取小段弦线近似视为质点，由牛顿第二定律，横向运动受力为,弦的原长：,振动拉伸后：,弦长dx ，质量线密度，B段的质量为m= dx,沿x-方向，不出现平移,沿垂直于x-轴方向,受力分析和牛顿运动定律：,在微小振动近似下：,由（1）式，弦中各点的张力相等,（1）,（2）,波动方程：,令,牛顿运动定律：,九、多普勒效应,当观察者与波源之间有相对运动时，观察者所测得的频率不同于波源频率的现象，称为多普勒效应以机械波为例，,在静止媒质中：,设观察者和波源在同一直线上运动, 波源的振动频率（恒定）,u 波在媒质中的传播速率（取决于媒质的性质，与波源运动无关）,vR 观察者相对于媒质的运动速率,vS 波源相对于媒质的运动速率, 观察者测得的频率,分别讨论下述四种情况观察者所测得的,“飞豹”脉冲多普勒雷达的平面狭缝天线,多普勒雷达就是利用多普勒效应进行定位，测速，测距等工作的雷达1. 波源和观察者均相对于媒质静止,波源的振动频率,观察者测得的频率,两个相邻等相位面(2)之间的距离是一个波长,观察者测得的频率，是单位时间内连续通过接收器的等相位面的数目，亦即单位时间内连续通过接收器的完整的波的个数。
观察者测得的频率就是波源的振动频率,2. 波源静止观察者向波源运动,波源的振动频率,观察者测得的频率,观察者每秒接收到的整波数，即观察者测得的频率为,观察者测得的频率是波源的振动频率的 倍如果波源静止观察者背离波源运动，观察者测得的频率为,左边的人是套什么服装？,3. 观察者静止，波源（相对于媒质）向观察者运动先看一个普通现象,一列等间距的小石子，等时先后落入水中，,它们所激起的水波的波阵面分布是一系列 若在空气中有一个振动频率恒定的定向运动声源，,它所激起的声波的波阵面分布，则是一系列偏心球面偏心圆,水波的多普勒效应（波源向左运动）,S,S 运动的前方波长缩短, ,3. 观察者静止，波源（相对于媒质）向观察者运动,波源的振动频率,观察者测得的频率,观察者测得的频率为,如果波源以速度vS离开观察者，观察者测得的频率为,运动的前方波长缩短 = vST 当 时，所有波前将聚集在一个圆锥面上，波的能量高度集中形成冲击波或激波，如超音速飞行等.,波源的振动频率,观察者测得的频率,4. 观察者和波源同时相对于媒质运动,这时观察者每秒接收到的整波数，由观察者的运动和波源运动两种因素同时决定，观察者测得的频率为,当波源和观察者同时相向运动时,当波源和观察者同时相背运动时,多普勒效应,波源的振动频率 ,观察者测得的频率,例13. 报警器S 发出频率为1000Hz 的声波, 声速 330m/s,离静止观察者R向一静止反射壁运动, 其速度为10m/s,求 (1) R 直接从S收到的频率？ (2) R从反射波收到的频率?(3) R 收到的拍频？ (4)若S不动, 反射壁以20m/s 向S运动,则拍频多少？,(2),R,S,反射壁对入射波而言, 相当于观察者；,反射壁对反射波而言, 相当于波源。
反射壁收到的频率,解: (1),反射壁接收与发出的频率相同,故R从反射波收到的频率为1030Hz,(3) R 收到的拍频,(4)若S不动, 反射壁以20m/s向S运动,则,R直接从 S 收到,反射壁收到,R收到,拍频为,反射壁发出 频率,多普勒效应的应用,光谱线红移等,测速,光也存在多普勒效应，但是涉及狭义相对论的相对性原理和光速不变原理，较复杂.在此我们仅作简单介绍.由相对论可得：,注意：以上两公式对电磁波同样适用波源背离观测者运动，有 波源朝着观测者运动，有 其中 为波源的速度,电磁波的多普勒效应,奥地利物理学家及数学家多普勒 1803年11月29日出生于奥地利的萨尔茨堡 (Salzburg)1842年，他在文章 On the Colored Light of Double Stars 提出“多普勒效应”(Doppler Effect)，因而闻名于世著名的多普勒效应首次出现在1842年发表的一篇论文上多普勒推导出当波源和观察者有相对运动时，观察者接收到的波频会改变他试图用这个原理来解释双星的颜色变化多普勒效应 大爆炸宇宙学,恒星光谱,锂、氦、汞的发射光谱,锂、氦、汞的吸收光谱,连续光谱,虽然多普勒误将光波当作纵波，但多普勒效应这个结论却是正确的。
实验结果支持多普勒效应的存在天文学家将来自星球的光谱与地球上相同元素的光谱比较，发现星球光谱几乎都发生红移，这说明星体都在远离地球向四面飞去这一观察结果被大爆炸的宇宙学理论的倡导者视为其理论的重要证据大爆炸宇宙学的观点：宇宙开始于一个密度无限大的“奇点”，宇宙的爆炸是空间的膨胀，物质则随着空间膨胀 在宇宙的早期，温度极高，在100亿度以上物质密度也相当大宇宙间只有中子、质子、电子、光子和中微子等一些基本粒子形态的物质但是因为整个体系在不断膨胀，结果温度很快下降 当温度降到10亿度左右时，中子开始失去自由存在的条件，它要么发生衰变，要么与质子结合成重氢、氦等元素；化学元素就是从这一时期开始形成的 温度进一步下降到100万度后，早期形成化学元素的过程结束宇宙间的物质主要是质子、电子、光子和一些比较轻的原子核 当温度降到几千度时，宇宙间主要是气态物质，气体逐渐凝聚成气云，再进一步形成各种各样的恒星体系，成为我们今天看到的宇宙。