工程流体力学：第二章 流体力学基本方程

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1、第二章 流体力学基本方程,1. 流体运动的基本概念-流体运动的特征 2. 4个重要方程： 连续性方程 根据质量守恒定律导出 运动方程 根据牛顿第二运动定律导出 伯努利方程 根据能量守恒定律导出 动量积分方程和动量矩积分方程 根据动量定理和动量矩定理导出. 这些方程是分析研究和解决流体力学问题的基础.,流体质点：是从作为连续介质的流体中取出的宏观尺度非常小而微观尺度又足够大的任意一个物理实体。它具有5层含义： 宏观尺度非常小：几何尺寸可不计，视为一几何点; 微观尺度足够大：分子的平均自由行程; 包含足够多分子的物理实体，也称“微团”或“控制体”; 形状可任意划分； 具有一定的物理量，如速度、加速

2、度、压力和密度等. 空间点: 是一个几何点，表示空间位置。 特点一：空间点是固定不动的，仅仅是一个几何位置; 特点二：同一空间点，不同时刻被不同的流体质点所占据或经过。,流体质点是物理点,2-1 描述流体运动的两种方法,一个比喻： 城市公共交通部门统计客运量，可采用两种方法： 在每一辆公交车上设记录员，记录每辆车在不同时刻（站点）上下车人数，此法称为随体法； 在每一站点设记录员，记录不同时刻经过该站点的车辆上下车人数，此法称为当地法。,流体力学采用类似方法研究流体运动。,2.1.1拉格朗日(Lagrange)法,基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它们在运动过程中的各物理量及其变化.,

3、a, b, c - t = t0 时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日变量，用来指定质点。,质点物理量：B(a, b, c, t)， 如：,独立变量：（a, b, c, t）区分流体质点的标志,加速度：,质点位移:,速 度:,质点-时间描述法,质点运动的轨迹,图2.1.1 迹线,速度:,加速度:,直角坐标系下速度和加速度可写为：,由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上也无须知道个别质点的运动情况，所以除少数情况外，工程流体力学中很少采用拉格朗日法。,x, y, z, t欧拉变量，其中x, y, z与时间t有关。,欧拉法是常用的方法。,2欧拉(Euler)法,基本思想：考察空间每一点上的

4、物理量及其变化。 空间点上的物理量是指占据该空间点的流体质点的物理量。,空间时间描述法,可见，流体质点和空间点是二个完全不同的概念。,独立变量：仅时间 . 空间坐标,欧拉法中的加速度 - 质点速度矢量对时间 的变化率。,Taylor级数展开,即,于是,时变加速度,迁移加速度,可见，质点的加速度包括两个部分： （1）当地加速度（时变加速度，局部加速度） 特定空间点处速度对时间的变化率； （2）迁移加速度（位变加速度，对流加速度） 对应于质点空间位置改变所产生的速度变化。,质点加速度在直角坐标系下的分量形式：,质点导数：,密度的质点导数,定常流动；,（Material derivative ope

5、rator）,均匀流动,v2,v1,压力的质点导数,例2.1.1 给定速度分布 求时的加速度分布。,解：,其余项的偏导数都为零，所以加速度分布为,t=0 时刻的加速度分布为,按式（2.1.3)，各项偏导数为,2-2 流体运动的基本概念,一恒定流与非恒定流,(定常流与非定常流),流场中所有的运动 要素不随时间变化,流场中所有的运动 要素随时间变化,二、迹线 (path line),迹线：流体质点的运动轨迹曲线 Lagrange法：迹线方程,初始时刻 时质点的坐标 ，积分上式得该质点的迹线方程。,三、流线(streamline),流线：某一时刻处处与速度矢量相切的空间曲线-瞬时性。 任一时刻t，曲

6、线上每一点处的切向量 都与该点的速度向量 相切。 流线微分方程：,迹线与流线的区别,流线的性质： 对于非定常流动，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重合； 对于定常流动，流线与迹线重合。 流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。 流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分布。 迹线和流线的区别： 迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange观点对应； 流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与Euler观点对应。,引自：普朗特流体力学基础,引自普朗特流体力学基础,例 已知平面流动 求 t = 0 时，过点 M (-1，-1) 的流线。,将 t = 0，x =

7、-1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。,积分后得到：,解 由式 得,三、流管与流束 1.流管在流场中任取一个有流体从中通过的封闭曲线，在曲线上的每一个质点都可以引出一条流线，这些流线簇围成的管状曲面称为流管。 由于流线不能相交， 只能相切，所以流体 不能穿过流管流进或 流出。就象真实的管子一样。,2.流束流管内的全部流体称为流束。 3.微小流束截面无穷小的流束。 4.总流无限多微小流束的总和。,例 管道内、渠道内的流动流体可以被当成是一个总流。,四、过水断面,流量,断面平均流速,过水断面-与流束或总流流线成正交的断面。,流量-单位时间内通过某一过水断面的流体体积称

8、为体积流量，简称流量。,断面平均流速,体积流量（ ）：,质量流量（ ）：,重量流量（ ）：,五、均匀流与非均匀流,均匀流：均匀流中各过水断面上的流速分布图沿程不变，过水断面是平面，沿程各过水断面的形状和大小都保持一样。 例：等直径直管中的液流或者断面形状和水深不变的长直渠道中的水流都是均匀流。,问题：何谓均匀流及非均匀流？以上分类与过流断面上流速分布是否均匀有无关系？,答： 均匀流是指流线是平行直线的流动。 非均匀流是流线不是平行直线的流动 。 这个分类与过流断面上流速分布是否均匀没有关系。,流线为直线，互相平行，各流断面面积和流速分布沿流程不变。,非均匀流：,问题：恒定流、均匀流等各有什么特

9、点？ 答： 恒定流是指各运动要素不随时间变化而变化， 恒定流时流线迹线重合，且时变加速度等于0。 均匀流是指各运动要素不随空间变化而变化， 均匀流的位变加速度等于0。,六一元流,二元流,三元流,一元流动 - 流动参数只与一个坐标变量有关。,例,二元流动- 流动参数与两个坐标变量有关。,三元流动(空间流动) - 流动参数与三个坐标变量有关。,1.系统(system)由确定的流体质点组成的流体团或流体体积V(t)。系统的边界面S(t)。,（系统导数）,2.控制体(control volume)相对于坐标系固定不变的空间体积V 。边界面S 称为控制面。,（控制体导数）,2-3 连续性方程,一、微分形

10、式的连续方程,流入的流体-流出的流体= 控制体内流体的增加量,y方向 流入的流体-流出的流体,x方向 流入的流体-流出的流体,z方向 流入的流体-流出的流体,控制体内流体的增加量,连续性方程,连续性方程 （普遍适用）,对于三维定常流动，,对于不可压缩流体的三元流动( = const.)，,对于不可压缩流体的二元流动( = const.)，,矢量表示式,物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量），与流出的流体体积（质量）之差等于零。,适用范围：理想流体和实际流体,例：有一三元流动，其速度分布规律 试分析该流动是否连续.,解：,根据式(2.3.2)有,故此流动不连续。不满足连续

11、性方程的流动是不存在的。,例 不可压缩流体平面流动的速度分布为,求 a, b 的值。,由不可压缩流体二维流动的连续性方程知道,由此得到 。,解,二 积分形式的连续方程,对于任意一个流体系统，质量守恒定律的数学表达式为,图2.3.2 微元体积,取t0时刻系统占据的空间为控制体，其表面称控制面。 将控制体体积记为CV，表面积记为CS,于是，CVV0，CSS0,流体系统在t0时刻的体积记为V0，表面积记为S0;。,或,这就是拉格朗日型连续性方程。,图2.3.2 微元体积,控制体是指定的固定空间，随着时间的推移，不断有流体从控制体中流入流出，这种流动必须满足质量守恒定律，即,设控制面单位外法矢为n,则

12、单位时间内通过控制体的质量净流出量为:,流体流出的质量流体流入的质量控制体内流体质量的减少量,单位时间控制体内质量的减少量为:,质量守恒定律要求上面两式相等，于是有质量守恒方程:,关系式可推广到任意物理量，即著名的雷诺输运公式：,对拉格朗日型连续性方程应用雷诺输运公式得:,这就是欧拉型连续性积分方程。其物理意义是： 在单位时间内，由于控制体内密度变化引起的质量变化量（增加量或减少量）与通过控制体表面的质量净流出量（流出与流入的质量差）之和等于零。 若为一维不可压缩定常管流（一维流即表示运动参数在同一截面上是均匀分布的，只在流动方向上发生变化），则有,连续性方程的其他形式,对微分形式的连续性方程

13、,利用散度公式,和,连续性方程还有以下两种形式，即,和,连续性方程,质量守恒定律在流体力学中的应用。,它反映了cs上速度分布与cv内密度变化之间的积分关系。,在流场中任取一空间固定的封闭曲面CS（控制面control surface），所围体积CV（控制体control volume）。 单位时间流出控制面的净质量=控制体内流体质量的减少,2.3.2 积分形式的连续方程, Euler型连续性方程,质量 守恒,特例,不可压流动中，流管的截面积与流速成反比，S小的地方流速快，S大的地方流速慢。 平面流动：流线间距大，流速慢；间距小，流速快。即流线的疏密反映了流速的大小。,2.3.1 微分形式的连续

14、方程,连续流场中空间任意点上速度和密度必须满足的微分（连续）方程。,不可压流动连续方程：速度场的散度为0 体积膨胀速率为0。,2.4 流体运动的微分方程,图2.4.1控制体,2.4.1 理想流体运动的微分方程（Euler方程）,则作用于六面体上的质量力分量分别为,根据牛顿第二运动定律，可得,图2.4.2 控制体,2.4.2 粘性流体运动的微分方程（NS方程）,由牛顿内摩擦定律，可得三元流动的广义牛顿内摩擦定律,伯努利（瑞典），1738，流体动力学 “流速增加，压强降低” 2.5.1 理想流体沿流线的伯努利方程 1. 伯努利方程的推导 欧拉运动方程四个假设,2.5 伯努利方程,（1）定常流动 （

15、2）沿流线积分 （3）质量力有势 （4）不可压缩,1）定常流场中的欧拉方程（式2.5.1） 2）将式2.5.1沿流线积分可得到伯努利方程 3）质量力有势 4）对于不可压缩流体有 常数 5）质量力只有重力,2. 伯努利方程的物理意义,表明：对于不可压缩理想流体定常流动，同一流线上单位重量流体所具有的机械能保持相等（守恒）,还记得吗？小时候玩过过山车吧,流体的能量守恒,船吸现象分析,安全线的作用,(3)重力场中可压缩粘性流体的 Bernoulli equation,为单位重量流体从 1 到 2 点损失的机械能。,两船并行相撞的解释： 两船间流线密、流速高、压力低。,泵的功率：,（4）有流体机械时的

16、 Bernoulli equation, 单位重量流体能量输入（出），扬程。,流线图,均匀流,均匀流,非均匀流,均匀流,非均匀流,均匀流,非均匀流,非均匀流,渐变流,急变流,急变流,急变流,均匀流和渐变流的过水断面上,动水压强分布规律与静水压强相同,即同一过水断面上各点的测压管水头为常数：,管道内、渠道内的流动流体可以被当成是一个总流， 由多个微元流束组成。,假设 A1、A2是缓变流截面，对于微元流束：,2.5.2 理想流体总流的伯努利方程,通过断面1和2的能量为：,1.沿流线,2.对于总流,2.5.3.实际流体的伯努利方程,2.5.5 伯努利方程应用举例,水力坡度线和能量线,例 水深 1.5 m，大截面开口水箱，箱 底接一长 2 m的开口竖直管，假设 管中流动定常，求竖直管中 2-2截 面上的压强。,解 考虑缓变流截面1-1、2-2和3-3，取,把基准面O-O取在3-3上，对1-1和3-3 写出总流的伯努利方程,伯努利方程的应用,注意点:,对2-2和3-3写出总流的伯努利方程,应用条件:,皮托管 测量流速,沿流线B A 列伯努利方程：,动压管,工程实际中常将静压管和皮托管组合在一起，