《新版高三全国统考数学（文）大备考课件-第6章第1讲-数列的概念与简单表示法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新版高三全国统考数学（文）大备考课件-第6章第1讲-数列的概念与简单表示法（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一讲 数列的概念与简单表示法,第六章数列,考点帮必备知识通关,考点1 数列的有关概念考点2 数列的函数特性考点3 数列的前n项和Sn与通项an的关系,考法帮解题能力提升,考法1 求数列的通项公式考法2 数列的性质及其应用,考情解读,考点1 数列的有关概念考点2 数列的函数特性考点3 数列的前n项和Sn与通项an的关系,考点帮必备知识通关,考点1 数列的有关概念,1.数列的有关概念,考点1 数列的有关概念,考点1 数列的有关概念,注意 (1)并不是所有的数列都有通项公式;(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一;(3)对于一个数列,如果只知道它的前几项,而没有指出它的变化规律,是不能确定这个
2、数列的;(4)an与an是不一样的,an表示数列a1,a2,an,是数列的一种简记形式;而an只表示数列an的第n项,an与an是“个体”与“整体”的从属关系.,考点1 数列的有关概念,2.数列的表示方法,考点1 数列的有关概念,辨析比较 通项公式和递推公式的异同点,考点2 数列的函数特性,1.数列与函数的关系数列可以看成一类特殊的函数an=f(n),它的定义域是正整数集N*或正整数集N*的有限子集1,2,3,4,n,所以它的图象是一系列孤立的点,而不是连续的曲线.2.数列的性质由于数列可以看作一个关于n(nN*)的函数,因此它具备函数的某些性质:(1)单调性若an+1an,则an为递增数列;
3、若an+1an,则an为递减数列.否则为摆动数列或常数列(an+1=an).(2)周期性若an+k=an(k为非零常数),则an为周期数列,k为an的一个周期.,考点3 数列的前n项和Sn与通项an的关系,1.Sn=a1+a2+an(nN*).2.若数列an的前n项和为Sn,则an= 1 ,=1, 1 ,2. 注意利用an= 1 ,=1, 1 ,2 求通项时,对n=1的情形要检验,若当n=1时,a1符合an=Sn-Sn-1(n2),则数列an的通项公式要用一个表达式表示;若当n=1时,a1不符合an=Sn-Sn-1(n2),则an= 1 ,=1, 1 ,2.,考法1 求数列的通项公式考法2 数
4、列的性质及其应用,考法帮解题能力提升,考法1 求数列的通项公式,命题角度1由数列的前几项归纳数列的通项公式示例1 写出下面各数列的一个通项公式:(1) 1 2 , 3 4 , 7 8 , 15 16 , 31 32 ,;(2)-1, 3 2 ,- 1 3 , 3 4 ,- 1 5 , 3 6 ,.解析(1)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列21,22,23,24,所以an= 2 1 2 .,考法1 求数列的通项公式,(2)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式的符号因数为(-1)n;各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2-
5、1,偶数项为2+1,所以an=(-1)n 2+(1 ) .也可写为an= 1 ,为奇数, 3 ,为偶数.,考法1 求数列的通项公式,方法技巧 由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略,考法1 求数列的通项公式,命题角度2利用an与Sn的关系求数列的通项公式示例22021山东烟台模拟设数列an的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.则数列an的通项公式为.思维导引 用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用公式an= 1 ,=1, 1 ,2 求出an.,考法1 求数列的通项公式,解析 由2Sn=3n+3可得a1=S1= 1 2 (3+3)=3,(求首项)当n2时,2Sn-1=3n-1+3,
6、结合2Sn=3n+3可得an=Sn-Sn-1= 1 2 (3n+3)- 1 2 (3n-1+3)=3n-1.(求通项)而a1=331-1,不满足上式,(检验首项a1)所以an= 3,=1, 3 1 ,2.,考法1 求数列的通项公式,示例3 设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1= 1 2 Sn+1Sn,则数列an的通项公式为.思维导引利用an+1=Sn+1-Sn及an+1= 1 2 Sn+1Sn消去an+1,得到Sn+1与Sn的关系式,求出Sn,再由公式an= 1 ,=1, 1 ,2 求出an.解析 因为an+1= 1 2 Sn+1Sn,an+1=Sn+1-Sn,所以Sn+1-Sn
7、= 1 2 Sn+1Sn,(消去an+1,转化为只含Sn+1,Sn的式子)两边同时除以Sn+1Sn,可得 1 +1 1 =- 1 2 ,又a1=S1=-1,考法1 求数列的通项公式,所以 1 是以-1为首项,- 1 2 为公差的等差数列.所以 1 =-1- 1 2 (n-1)=- 1 2 n- 1 2 ,故Sn=- 2 +1 .(求出Sn)当n2时,an=Sn-Sn-1=- 2 +1 -(- 2 )= 2 (+1) .当n=1时,a1=-1 2 1(1+1) =1,不满足上式,所以an= 1(=1), 2 (+1) (2). (利用an与Sn的关系求通项),考法1 求数列的通项公式,方法技巧1
8、.已知Sn求an的一般步骤(1)先利用a1=S1求出a1;(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n2)便可求出当n2时an的表达式;(3)检验a1是否满足n2时an的表达式,若满足,则用一个式子表示,若不满足,则用分段形式表示.,考法1 求数列的通项公式,2.由f(Sn,an)=0求an的解题思路如果已知f(Sn,an)=0,那么我们可以利用an=Sn-Sn-1(n2)将f(Sn,an)=0向两个方向转化:一是消去an,转化为只含Sn,Sn-1的式子,求出Sn后,再利用an与Sn的关系求通项an;二是利用公式Sn-Sn-1=an(n2)消去Sn,转化为只含an
9、,an-1的式子,再求解.,考法1 求数列的通项公式,命题角度3已知递推关系求数列的通项公式示例4 已知数列an满足a1=2,an-an-1=n(n2,nN*),则an=.解析 (累加法)由题意可知,a2-a1=2,a3-a2=3,an-an-1=n(n2),以上式子累加,得an-a1=2+3+n. (累加时注意开始的一项与最后一项)因为a1=2,所以an=2+(2+3+n) (用公式求2+3+n时,注意项数为n-1)=2+ (1)(2+) 2 = 2 +2 2 (n2).因为a1=2满足上式,所以an= 2 +2 2 .(检验首项a1),考法1 求数列的通项公式,示例5 已知在数列an中,a
10、n+1= +2 an(nN*),且a1=4,则数列an的通项公式an=.解析 (累乘法)由an+1= +2 an,得 +1 = +2 ,故 2 1 = 1 3 , 3 2 = 2 4 , 1 = 1 +1 (n2),以上式子累乘得, 1 = 1 3 2 4 3 1 2 1 +1 = 2 (+1) . (累乘时注意开始的一项与最后一项)因为a1=4,所以an= 8 (+1) (n2).因为a1=4满足上式,所以an= 8 (+1) . (检验首项a1),考法1 求数列的通项公式,示例6 已知在数列an中, a1=3,且点Pn(an,an+1)(nN*)在直线4x-y+1=0上,则数列an的通项公
11、式为.解析 (构造法)因为点Pn(an,an+1)(nN*)在直线4x-y+1=0上,所以4an-an+1+1=0. (将点的坐标代入直线方程得递推公式)所以an+1+ 1 3 =4(an+ 1 3 ).(令an+1+=4(an+),与4an-an+1+1=0对比得),考法1 求数列的通项公式,因为a1=3,所以a1+ 1 3 = 10 3 .故数列an+ 1 3 是首项为 10 3 ,公比为4的等比数列.(注意数列an+ 1 3 的首项不是a1,而是a1+ 1 3 )所以an+ 1 3 = 10 3 4n1,故数列an的通项公式为an= 10 3 4n1 1 3 .(注意最后要求的是an非a
12、n+ 1 3 ),考法1 求数列的通项公式,示例72021湖北黄冈检测已知数列an满足a1=2,an+1= 2 2+ (nN*),则an=.解析 (取倒数法)因为an+1= 2 2+ ,所以 1 +1 1 = 1 2 . (两边同时取倒数,构造出具有等差数列特征的式子)因为a1=2,即 1 1 = 1 2 , 所以数列 1 是首项为 1 2 ,公差为 1 2 的等差数列, (注意数列 1 的首项不是a1,而是 1 1 )所以 1 = 1 2 +(n-1) 1 2 = 2 ,故an= 2 .,考法1 求数列的通项公式,方法技巧 由递推公式求通项公式的方法,考法1 求数列的通项公式,考法1 求数列
13、的通项公式,考法1 求数列的通项公式,拓展结论(1)求解满足形如an+1=pan+qn(其中p,q均为常数,pq(p-1)0)的递推公式的数列的通项有两种方法:先在递推公式两边同时除以qn+1,得 +1 +1 = + 1 ,然后引入辅助数列bn(其中bn= ),得bn+1= bn+ 1 ,再用构造法求解;在原递推公式两边同时除以pn+1,得 +1 +1 = + 1 ( )n,引入辅助数列bn(其中bn= ),得bn+1-bn= 1 ( )n,再利用累加法求解.,考法1 求数列的通项公式,(2)求解满足形如an+2=pan+1+qan(p,q是常数,且p+q=1)的递推公式的数列的通项,可构造等
14、比数列,将其变形为an+2-an+1=(-q)(an+1-an),则an-an-1(n2,nN*)是等比数列,且公比为-q,可以求得an-an-1=f(n),然后用累加法求得通项.(3)求解满足形如an+1+an=f(n)的递推公式的数列的通项,可将原递推公式改写成an+2+an+1=f(n+1),两式相减即得an+2-an=f(n+1)-f(n),然后分类讨论即可.,考法2 数列的性质及其应用,命题角度1数列的周期性示例8 2020武汉市部分学校质量监测在数列an中,a1=- 1 4 ,an=1- 1 1 (n2,nN*),则a2 021的值为A.- 1 4 B.5 C. 4 5 D. 5
15、4,考法2 数列的性质及其应用,解析 因为在数列an中,a1=- 1 4 ,an=1- 1 1 (n2,nN*),所以a2=1- 1 1 4 =5,a3=1- 1 5 = 4 5 ,a4=1- 1 4 5 =- 1 4 =a1,所以an是以3为周期的周期数列,所以a2 021=a6733+2=a2=5.答案B方法技巧数列的周期性的应用先根据已知条件求出数列的前几项,确定周期,然后利用数列的周期性即可求值.,考法2 数列的性质及其应用,命题角度2数列的单调性与最大(小)项问题示例9(1)已知数列an的通项公式为an= 3+ 2 ,若数列an为递减数列,则实数k的取值范围为A.(3,+)B.(2,
16、+)C.(1,+)D.(0,+)(2)已知数列an的通项公式为an= 9 (+1) 1 0 ,则数列中的最大项为.,考法2 数列的性质及其应用,思维导引(1) 递减数列 an+1-an0 转化为含参数的不等式求解(2),考法2 数列的性质及其应用,解析 (1)因为an+1-an= 3+3+ 2 +1 3+ 2 = 33 2 +1 ,由数列an为递减数列知,对任意nN*,an+1-an= 33 2 +1 3-3n对任意nN*恒成立,所以k(0,+).故选D.(2)解法一an+1-an= 9 +1 (+2) 1 0 +1 9 (+1) 1 0 = 9 1 0 8 10 ,当n0,即an+1an;当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an;当n8时,an+1-ana10a11,故数列an中的最大项为第8项和第9项,且a8=a9= 9 8 9 1 0 8 = 9 9 1 0 8 .,考法2 数列的性质及其应用,解法二设数列an中的第n项最大,则 1 , +1 , 即 9 (+1) 1 0 9 1 1 0 1 , 9 (+1) 1 0 9 +1 (+2) 1 0 +1 , 解得8n9.又n
