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1、7.4 隐函数求导法,7.4.1、 一个方程的情形,7.4.2、 方程组的情形,定理1. 设函数,则方程,连续函数 y = f (x) ,并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：, 具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,7.4.1、 一个方程的情形,设y=y(x) 为方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则,由于Fy 连续,且Fy(x0,y0) 0,所以存在(x0,y0) 的一个邻域,在这邻域内Fy0 ,于是得,两边对x求导：,F(x，y(x)0,若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,则还可求隐函数的二阶导数,例1
2、. 验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定可导隐函数,解: 令,连续 ;,由 定理1 可知,导的隐函数,则,在 x = 0 的某邻域内方程存在可,且,并求,两边对 x 求导,两边再对 x 求导,令 x = 0 , 注意此时,导数的另一种求法 利用隐函数求导,定理2 .,若函数,的某邻域内具有连续偏导数 ;,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个连续函数 z = f (x , y) ,定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:,满足, 在点,满足:,某一邻域内可唯一确,将上式两端分别对x和y求导，,注,解,令,则,例3 设(u，v) 具有连续的偏导数，证明由方程 (cxaz，cybz)=0确定的函数z
3、=z (x,y) ， 满足,方程的两端对x 求导有,证明 方法一 利用复合函数求导法则,可得,方程两端对y 求偏导有,可得,于是有,(cxaz，cybz)=0,方法二 公式法,记(cxaz，cybz)=F (x，y，z)，则Fx=cu，Fy=cv，Fz=aubv,所以,方法三 利用全微分形式的不变性,移项 cudx+cvdy=(au+bv)dz,所以,于是,d(cxaz，cybz)=ud（cxaz）+vd(cybz) =u(cdx-adz)+v(cdy-bdz)=0,7.4.2、 方程组的情形,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由 F、G 的偏导数组成的行列式,称为F、G 的雅可比 行
4、列式.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即,定理3.,的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,的连续函数,且有偏导数公式 :, 在点,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:,导数；,仅就公式作如下推导:,有隐函数组,两边对 x 求导得,设方程组,在点P 的某邻域内,则,故得,系数行列式,同样可得,解1,直接代入公式；,解2,运用公式推导的方法，,将所给方程的两边对 求导并移项,将所给方程的两边对 求导，用同样方法得,条件: (1) F,G连同它们的一切偏导在(x0,y0,z0)的领域内连续。,（2）F (x0,y0,z0)=0,G (x0,y0,z0)=0,证略。求法,注,从中解出,解,运用公式推导的方法，,将所给方程的两边对 x 求导,例5,例6,解 方程组确定三个二元函数,在三个方程两边分别对x求偏导,在三个方程两边分别对y求偏导,1、熟练掌握一个方程和方程组确定的隐函数的偏导数的计算。,习题 74,内容小结,总习题 7.8 1(1)(2), 4,5,
