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1、,二、高阶导数的运算法则,第四节,一、高阶导数的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高阶导数,第二章,三 、 相关变化率,一、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,求,解:,依次类推 ,例1.,思考: 设,问,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 设,求,解:,特别有:,解:,规定 0 ! = 1,思考:,
2、例3. 设,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 设,求,解:,一般地 ,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5 . 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 设,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在 .,2,又,阶数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数 , 则,(C为常数),莱布尼兹(Leibniz) 公式,推导 目录 上页 下页 返回 结束,用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,求,解: 设,则,代入莱布尼兹公式 , 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,解,若
3、参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,相关变化率问题:,已知其中一个变化率,如何求出另一个变化率?,例,解,试求当容器内水,例. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x ,水的,两边对 t 求导,而,故,体积为 V , 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 如何求下列函数的 n 阶导数?,解:,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3),提示: 令,原式,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. (填空题) (1) 设,则,提示:,各项均含因子 ( x 2 ),(2) 已知,任意阶可导, 且,时,提示:,则当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 试从,导出,解：,同样可求,(见 P82 题9 ),第四节 目录 上页 下页 返回 结束,
