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1、第八章(程10n)第八章 序列的抽取与插值 信号的“抽取”,也称“抽样率压缩”:减少抽样率的过程。信号的“插值”,也称“抽样率扩张”:增加抽样率的过程。一、序列的抽取当信号的抽样数据量太大时，在每D个抽样中取出一个或说每隔D-1抽样取出一个，以便减少数据量，D是整数，称为抽样因子，这样的抽取，称为整数倍抽取。如下图所示 _a (t )0 _ ( n)T1 5_d ( n )1015 t 0 n 0 1 2 3 4 5 n T2= 3T1 1.用连续信号抽样的概念来直观地讨论抽取过程中对频域所产生的影响设序列_ ( n ), _d ( n )所对应的模拟信号为_a ( t ),a d a t n
2、T t nDT= 即_ ( n )= _ ( t ) , _ ( n )= _ (t ) 设它们各自满足以下的傅立叶变换关系：_a ( t ) _ a ( j ) _ ( n ) _ ( e j ) _d ( n ) _ d ( e j ) 利用序列的傅立叶变换与连续信号傅立叶变换的关系式，知 1 2 1 _ (e ) _ e _ a j = j k _ a ( j jk s1 )= T1 k= T1 T1 k= j ( j T1 ) 1 j T2 j = _= e _ d e T2 2 1 _ a j = j k T2 T2 k= 1 2 _ a j j k = T2 k= DT1 k 1
3、_ a j j s1 = DT1 k= D ( ) k= _ a ( j jk s ) 2 k 1或表示为 _ ( e )= _ a j T1 k= T1 j _ d (e j 1 )=T 2 2 k _a j T k= 2 频谱图 2 k 1 _ (e )= _ a j T1 k= T1 j _ d (e j 1 )=T 2j 2 k _a j T k= 2 可以看出：1._ d ( e 2 )可认为按 T整数倍移位, 2 并按频率= T2做尺度变换的无穷多个 2.是周期的，周期为 _ d ( e j )所组成 _ a ( j ) 2 3.只有在抽取之后的抽样率仍满足抽样定理时，才不会产生混
4、叠失真，即要保证 _ ( e j )是带限的，即_ ( e j= 0,h1 ) 频谱图 h _ a ( j ) h 0h s1D2 s1 D _ (e j T1 ) s1 1 T1 s1=2 T1 h 0h _ (e j T2 ) 1 T2 h 0h s2= 2 DT1 D s 2 _ ( e j ) 2 1 T1 h1= hT1 h10h11 T2 2 _ d (e j ) 2 Dh1 0h 2= Dh1 h 2= hT2= Dh12 推导结论 2.序列域的直接抽取-频谱间的关系 先将序列_ ( n )进行脉冲抽样，得到_ p ( n ),然后去掉零值点，得到所需抽取序列_d ( n )其中
5、= p (n) 则 _p ( n)= _ ( n). p ( n) k= (n kD) _ ( n )当n= kD,k为整数即 _p ( n)= 其他n 0图示 周期冲激序列p ( n ): 其DFS的系数P ( k )= p ( n )en=0 D 1 2 j D kn = ( n kD )en= 0 k= D 1 n=0 2 j D kn D 1 2 j D kn = ( n )e 2傅立叶变换P ( e j )= D2= D =1 2 P k k ( ) D k=0D 1 ( k )k=0 S D 1 2其中=是抽样频率 s D _p ( n)= _ ( n). p ( n) 1 2 j
6、 ( ) j _ p (e )= P e _ e d ( ) 2 0 1 2 2 D 1 j ( ) ( ks )_ e= . d 2 D 0 k=0 1 D 1 j ( ks )=_ e 式 (1) D k=0j ( ) ( ) ( ) 讨论_ d ( e j ): _d ( n )= _ p ( Dn ) jk _ k e _ d ( e j )= d( ) k= = _ p ( Dk ) e jkk= = n为D的整数倍 _P ( n ) e j n D j n D = _p ( n) en= j D= _ p e j j D=即_ ) _ p e 式 ( 2) d (e D 1 1 j
7、 ( ks ) j由 _ p (e )= _ e 式 (1) D k=0 j j D _= ) _ p e 式 ( 2) d (e D 1 j k s 1 j D 得 _ d (e )= _ e D k=0 ( ) 因此，式 (1)表明：_ p ( e j )为_ ( e j )的周期延拓，以s为周期式 ( 2 )表明：_ d ( e j )与_ p ( e j )仅在频率尺度上不同式 ( 3)表明：_ d ( e j )可看做是由频率受到D倍扩展的， 2并按整数倍移位的D个_ ( e j )所组成 D 2 k j 1 D D = _ e 式 ( 3) D k=0 D 1 _ ( e j )
8、2 h 0h 2 P ( e j ) 2 2 s s 0 _ p1 (e j ) 2 D1 s1 D1 s=2 D1 2 s 2 2 2 s s h 0h 1 _ p 2 ( e j )D s=s 2 D 2 s 2 2 _ d (e j ) D1h 0 1 D1 s 2 2 0 D1h 2 这一抽取关系可用下图表示 _ ( n) 抽取器 D _d ( n ) = _ ( n) D _d ( n ) 抽取器及其框图表示 频谱图 二、加防混叠滤波器后抽取系统的时域频域分析一般来说，如果原序列的抽样频率 f s 2 f h,则不会产生频率响应的混叠失真。 当再做D取1抽取时，只要原序列_ ( n
9、)的一个周期的频谱限制在混叠失真。即，只要原信号_ ( n )的抽样频率f s 2 Dfh,则做D取1抽取后， D 范围内，则抽取后序列_d ( n )的频谱不会产生 序列_d ( n )的频谱不会产生混叠失真。 频谱图 _ a ( j ) h 01 T h _ ( e j )0j 2 h h 2 H d (e ) c 0c 2 2 _ e (e j ) c 0c 2 2 _ d (e j )0 2 2 Dc Dc 框图 结论 这一抽取关系可用下图表示 _ ( n) h( n) H ( e j ) _e (n) D _d ( n ) 抽取器及其框图表示 频谱图 二、序列的插值插值因子I, I为
10、大于1的整数整数倍 (I倍 )插值的方法： 1.在已知抽样序列的相邻两样点之间等间隔地插入 (I-1)个零值点 2.进行数字低通滤波 _ ( n)fs I _ p ( n)If s h( n) _ I ( n)If s 插值系统的框图图中“ I”表示在的相邻抽样点间补 (I-1)个零值点，也就是表示它是零值插值，称为零值插值器 _p ( n) n _ n= 0,_177; I,_177;2 I= _ ( k ) ( n kI ) I k= 0 n为其他值 h ( n )表示一个离散时间低通滤波器 _ ( n) 0 n _ p ( n) 0 _I ( n ) n 0 n 1.在频域中分析插值系统的工作原理：_ p ( e j ) jn _ k . n kI ) e ( ) ( n= k= = _ ( k ) e j Ik=_ ( e j I )k= 即零值插值器输出的傅立叶变换是对输入傅立叶变换做频率变换 _ I ( e j )可以从_ p ( e j )得到,这只要去掉_ p ( e j )中除了在2整数倍上的 _ ( n) 全部经频率尺度变换后的_ a ( j )的图形._ ( e j ) 0 n 2 0_ p ( e j ) 2 _ p ( n) 0 _I ( n ) n 2 0 2 _ I (e j ) 0 n 2 0 2 2.在时域中分析插值系统的工作原理：
