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1、全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章内容在高考中一般是“一大一小”2考查内容(1)导数的几何意义一般在选择题或填空题中考查，有时与函数的性质相结合出现在压轴小题中(2)解答题一般都是两问的题目， 第一问考查曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的极值点等，属于基础问题第二问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参数的取值范围，函数的零点等问题3备考策略(1)熟练掌握导数的运算公式， 重点研究导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与极 (最)值、导数与不等式、导数与函数的零点等问题(2)加强数形结合、 分类讨论等数学思想的应用. 第一节导数的概念及运算最新考纲 1.了解导数概念的
2、实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求函数 yC(C 为常数 )，yx ，yx2，yx3，y1x，yx的导数 .3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数能求简单的复合函数(仅限于形如 f(axb)的复合函数 )的导数1导数与导函数的概念(1)函数 yf(x)在 xx0处的导数函数 yf(x)在 x0点的瞬时变化率为函数yf(x)在点 x0处的导数，用 f(x0)表示，记作 f(x0) limx1x0f x1f x0 x1x0 lim x0f x0 x f x0 x. (2)导函数如果一个函数 f(x)在区间 (a， b)上的每一点 x 处都有导数，导数值记为
3、 f(x)： f(x)lim x0f x x f x x，则 f(x)是关于 x 的函数，称 f(x)为 f(x)的导函数，通常也简称为导数2导数的几何意义函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin x f(x)cos_xf(x)cos x f(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0) f(x)exf(x)exf(x)logax f(x)1xln af(x)ln x f(x)1x4导
4、数的运算法则(1)f(x) g(x)f(x) g(x)；(2)f(x) g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)f xg xf x g x f x g xg x 2(g(x)0)5复合函数的导数复合函数y f( (x)的导数和函数yf(u)，u (x)的导数间的关系为yxf( (x)f(u) (x)常用结论 1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数2af(x) bg(x)af(x) bg(x)3函数 yf(x)的导数 f(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小 |f(x)|反映了变化的快慢， |f(x)|越大，曲线在这点
5、处的切线越“陡”一、思考辨析 (正确的打“”，错误的打“”) (1)f(x0)是函数 yf(x)在 xx0附近的平均变化率 () (2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同 () (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线() (4)函数 f(x)sin(x)的导数是 f(x)cos x() 答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1函数 yxcos xsin x 的导数为 () Axsin xBxsin xCxcos xDxcos xBy xcos xx(cos x)(sin x) cos xxsin xcos xxsin x 2曲线 yx311在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交
6、点的纵坐标是 () A9 B3 C9 D15 C因为 yx311， 所以 y 3x2， 所以 y |x13， 所以曲线 yx311 在点 P(1,12)处的切线方程为 y123(x1)令 x0，得 y9.故选 C.3函数 yf(x)的图像如图，则导函数f(x)的大致图像为() ABCD B由导数的几何意义可知， f (x)为常数，且 f (x)0. 4在高台跳水运动中， t s 时运动员相对于水面的高度(单位： m)是 h(t)4.9t26.5t10，则运动员的速度v_m/s，加速度 a_m/ s2. 9.8t6.59.8vh(t)9.8t6.5，av(t)9.8. 考点 1导数的计算(1)求
7、函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，避免运算错误已知函数解析式求函数的导数求下列各函数的导数：(1)yx 2x；(2)ytan x；(3)y2sin2x21. 解(1)先变形： y2x32，再求导： y( 2x32)3 22x12. (2)先变形： ysin xcos x，再求导：ysin xcos xsin x cos xsin x cos x cos2x1cos2x. (3)先变形： ycos x，再求导： y(cos x)(sin x)sin x. 逆向问题 已知 f(x)
8、x(2 017ln x)，若 f(x0)2 018，则 x0_. 1因为 f(x)x(2 017ln x)，所以 f(x)2 017ln x12 018ln x，又 f(x0)2 018，所以 2 018ln x02 018，所以 x01. 求导之前先对函数进行化简减少运算量如本例(1)(3)抽象函数求导已知 f(x)x22xf(1)，则 f(0)_. 4 f(x)2x2f(1)， f(1)22f(1)， f(1)2， f(0)2f(1)2(2)4. 赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f(1)为常数，然后借助导数运算法则计算f(x)，最后分别令x1，x0代入f(x)求解即可1.已知函数 f
9、(x)exln x，f(x)为 f(x)的导函数， 则 f(1)的值为 _e由题意得 f(x)exln xex1x，则 f(1)e. 2 已知函数 f(x)的导函数为 f(x)， 且满足关系式 f(x)x23xf(2)ln x， 则 f(2)_. 94因为 f(x)x23xf(2)ln x，所以 f(x)2x3f(2)1x，所以 f(2)43f(2)123f(2)92，所以 f(2)94. 3求下列函数的导数(1)y3xex2xe；(2)yln xx21；(3)yln 2x12x1. 解(1)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln 33xex2xln 2 (ln
10、31) (3e)x2xln 2. (2)yln x x21 ln x x21 x2121xx21 2xln xx212x212x2ln xx x212. (3)y ln 2x12x1ln(2x1)ln(2x1)ln(2x1)ln(2 x1)12x1 (2x1)12x1 (2x1)22x122x144x21. 考点 2导数的几何意义导数几何意义的应用类型及求解思路(1)已知切点 A(x0，f(x0)求斜率 k，即求该点处的导数值：kf(x0)(2)若求过点 P(x0，y0)的切线方程，可设切点为 (x1， y1)， 由y1f x1，y0y1f x1x0 x1求解即可(3)处理与切线有关的参数问题
11、，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上求切线方程(1)(2019 全国卷 )曲线 y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为 _(2)已知函数 f(x)xln x，若直线 l 过点(0， 1)，并且与曲线 yf(x)相切，则直线l 的方程为 _(1)3xy0(2)xy10(1) y3(x23x1)ex，曲线在点(0,0)处的切线斜率 ky|x03，曲线在点(0,0)处的切线方程为 y3x. (2)点(0，1)不在曲线 f(x)xln x 上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，直线l 的方程为 y1(1ln
12、 x0)x. 由y0 x0ln x0，y01 1ln x0 x0，解得 x01，y00. 直线l 的方程为 yx1，即 xy10. (1)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标，在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围；(2)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别如本例 (1)是“在点(0,0)”，本例 (2)是“过点(0，1)”，要注意二者的区别求切点坐标(2019 江苏高考 )在平面直角坐标系xOy 中，点 A 在曲线 yln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点 (e， 1)(e为自然对数的底数 )， 则点 A的坐标是 _(e,1)设 A(x0，y0)，由 y1x，得 k
13、1x0，所以在点 A 处的切线方程为 yln x01x0(xx0)因为切线经过点 (e，1)，所以 1ln x01x0(ex0)所以 ln x0ex0，令 g(x)ln xex(x0)，则 g(x)1xex2，则 g(x)0， g(x)在(0，)上为增函数又 g(e)0，ln xex有唯一解 xe. x0e.点A 的坐标为 (e,1) f(x)k(k 为切线斜率 )的解即为切点的横坐标，抓住切点既在曲线上也在切线上，是求解此类问题的关键求参数的值(1)(2019 全国卷 )已知曲线 yaexxln x 在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则() Aae，b1Bae，b1 Cae1，b1 D
14、ae1，b1 (2)已知 f(x)ln x， g(x)12x2mx72(m0)， 直线 l 与函数 f(x)， g(x)的图像都相切，与 f(x)图像的切点为 (1，f(1)，则 m_. (1)D(2)2(1) yaexln x1，y|x1ae1，2ae1， ae1.切点为(1,1)，将(1,1)代入 y2xb，得 12b， b1，故选 D. (2) f(x)1x，直线l 的斜率 kf(1)1. 又 f(1)0，切线 l 的方程为 yx1. g(x)xm，设直线 l 与 g(x)的图像的切点为 (x0，y0)，则有 x0m1，y0 x01，y012x20mx072，m0， m2. 已知切线方程
15、(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程，同时注意曲线上点的横坐标的取值范围导数与函数图像(1)已知函数 yf(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数yf(x)的图像如图所示，则该函数的图像是() AB CD (2)已知 yf(x)是可导函数， 如图，直线 ykx2 是曲线 yf(x)在 x3 处的切线，令 g(x)xf(x)，g(x)是 g(x)的导函数，则 g(3)_. (1)B(2)0(1)由 yf(x)的图像是先上升后下降可知，函数yf(x)图像的切线的斜率先增大后减小，故选B. (2)由题图可知曲线 yf(x)在 x3 处切线的斜率等于13， f(3)13. g
16、(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)， g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知 f(3)1， g(3)13 130. 函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出图像升降的快慢1.曲线 f(x)exx1在 x0 处的切线方程为 _2xy10根据题意可知切点坐标为 (0，1)，f(x)x1 exexx1 x12x2 exx12，故切线的斜率 kf(0)02 e00122，则直线的方程为y(1)2(x0)，即 2xy10. 2(2019 大同模拟 )已知 f(x)x2，则曲线yf(x)过点 P(1,0)的切线方程是_y0 或 4xy40设切点坐标为 (x0，x20)， f(x)2x，切线方程为 y02x0(x1)， x202x0(x01)，解得 x00 或 x02，所求切线方程为 y0 或 y4(x1)，即 y0 或 4xy40. 3直线 ykx1 与曲线 yx3axb 相切于点 A(1,3)，则 2ab_. 1由题意知， yx3axb 的导数 y3x2a，则13ab3，312ak，k13，由此解得 k2，a1，b3，2ab1
