1.4空间向量的应用14.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第 1 课时空间中点、直线和平面的向量表示学习目标理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量知识点一空间中点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 就可以用向量OP来表示我们把向量OP称为点 P 的位置向量知识点二空间中直线的向量表示式直线 l 的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P 在直线 l上的充要条件是存在实数t，使OPOAta，把ABa 代入式得OPOAtAB，式和式都称为空间直线的向量表示式思考直线的方向向量是不是唯一的？答案直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量解题时，可以选取坐标最简的方向向量知识点三空间中平面的向量表示式1平面 ABC 的向量表示式空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x，y，使 OPOAxAByAC.我们把式称为空间平面ABC 的向量表示式2平面的法向量如图，若直线l，取直线l 的方向向量a ，我们称 a 为平面 的法向量； 过点 A 且以a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 P|a AP0 思考平面的法向量是不是唯一的？答案一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线在应用时，可以根据需要进行选取1若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反() 2平面 的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量() 3直线的方向向量是唯一的() 一、直线的方向向量例 1(1)已知直线l 的一个方向向量m (2， 1,3)，且直线l 过 A(0，y，3)和 B(1,2，z)两点，则y z等于 () A0 B 1 C.32D3 答案A 解析 A(0，y，3)和 B(1,2，z)，AB(1,2y， z3), 直线 l 的一个方向向量为m(2， 1,3) ，故设 ABkm. 12k ,2y k，z 33k. 解得k12，yz32. yz0. (2) 在如图所示的坐标系中，ABCD A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线 DD1的一个方向向量为 _，直线BC1的一个方向向量为_答案(不唯一 )(0,0,1)(0,1,1) 解析 DD1AA1，AA1 (0,0,1)，直线 DD1的一个方向向量为(0,0,1)；BC1AD1，AD1(0，1,1), 故直线 BC1的一个方向向量为(0,1,1)反思感悟理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量(2)直线的方向向量不唯一跟踪训练1(1)(多选 )若 M(1,0，1)，N(2,1,2)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量是() A(2,2,6) B (1,1,3) C(3,1,1) D (3,0,1) 答案AB 解析 M，N 在直线 l 上， MN(1,1,3)，故向量 (1,1,3)，(2,2,6)都是直线l 的一个方向向量(2)从点 A(2， 1,7)沿向量 a(8,9， 12)的方向取线段长|AB|34，则 B 点的坐标为 () A(18,17， 17) B. ( 14， 19,17) C. 6，72，1D. 2，112，13答案A 解析设 B 点坐标为(x，y，z) ，则AB a( 0)，即 (x2，y1， z7) (8,9， 12) ，因为 |AB|34，即642812144234，得 2，所以 x18，y17，z 17. 二、求平面的法向量例 2如图，在四棱锥PABCD 中， 底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD， E 为 PD 的中点ABAP1，AD3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量解因为 PA平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，所以 AB，AD，AP 两两垂直如图，以A 为坐标原点， AB，AD，AP的方向分别为x 轴， y 轴， z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 D(0，3，0)，P(0,0,1)，E0，32，12， C(1，3，0)，于是 AE0，32，12.AC (1，3，0)设 n(x，y，z)为平面 ACE 的法向量，则n AC0，n AE0，即x3y0，32y12z0，所以x3y，z3y，令 y 1，则 xz3. 所以平面ACE 的一个法向量为n (3， 1，3)延伸探究本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量？解如图所示，建立空间直角坐标系，则 P(0,0,1)，C(1，3，0)，所以 PC(1，3， 1)，即直线 PC 的一个方向向量设平面 PCD 的法向量为n(x，y，z)因为 D(0，3，0)，所以 PD(0，3， 1)由n PC0，n PD0，即x3yz 0，3yz0，所以x 0，z3y，令 y 1，则 z3. 所以平面PCD 的一个法向量为(0,1，3)反思感悟求平面法向量的方法与步骤(1)求平面 ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC，AB；(2)设平面的法向量为n (x，y，z)；(3)联立方程组n AC0，n AB0，并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量跟踪训练2已知 ABC 的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，试求出平面ABC 的一个法向量解设平面 ABC 的法向量为n(x，y，z)A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，AB(2,1,3)，BC(1， 1,0)则有n AB0，n BC0，即2x y3z0，xy0，解得x3z，xy.令 z 1，则 xy3. 故平面 ABC 的一个法向量为n(3,3,1)1若 A( 1,0,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线l 的一个方向向量为() A(1,2,3) B (1,3,2) C(2,1,3) D (3,2,1) 答案A 解析因为 AB(2,4,6) ，所以 (1,2,3)是直线 l 的一个方向向量2已知直线l1的方向向量a(2， 3,5)，直线l2的方向向量b(4，x，y)，若 ab，则x，y 的值分别是 () A6 和 10 B 6 和 10 C 6 和 10 D6 和 10 答案A 解析由题意得243x5y，且 x 0，y0，所以 x，y 的值分别是6 和 10. 3 若 n(2，3, 1)是平面 的一个法向量， 则下列向量中能作为平面的法向量的是 () A(0， 3,1) B (2,0,1) C(2， 3,1) D (2,3， 1) 答案D 解析求与 n 共线的一个向量易知(2， 3,1) (2，3， 1)4(多选 )在直三棱柱ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是 () A.ABB.AA1 C.B1B D.A1C1 答案BC 5已知平面经过点 O(0,0,0)，且 e(1,2， 3)是 的一个法向量，M(x，y，z)是平面 内任意一点，则x，y， z满足的关系式是_答案x2y3z0 解析由题意得eOM，则 OM e(x，y， z) (1,2， 3)0，故 x2y3z 0. 1知识清单：(1)直线的方向向量(2)平面的法向量2方法归纳：待定系数法3常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性1已知向量a(2, 1,3)和 b(4,2x2,6x)都是直线l 的方向向量，则x 的值是 () A 1 B 1或 1 C 3 D1 答案A 解析由题意得ab，所以2x22，6x 6，解得 x 1. 2已知平面的一个法向量是(2， 1， 1)， ，则下列向量可作为平面的一个法向量的是 () A. (4,2， 2) B. (2,0,4) C. (2， 1， 5) D. (4， 2， 2) 答案D 解析 ，的法向量与的法向量平行，又(4， 2， 2)2(2， 1， 1)，故选 D. 3在菱形 ABCD 中，若 PA是平面 ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是() A.PAABB.PCBDC.PCABD.P ACD答案C 解析 PA平面 ABCD，BDPA. 又 ACBD，BD平面 PAC，PCBD. 故选项 B 成立，选项A 和 D 显然成立故选C. 4已知 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC 的一个法向量是() A(1,1， 1) B (1， 1,1) C(1,1,1) D (1， 1， 1) 答案D 解析AB(1,1,0)，AC( 1,0,1)设平面 ABC 的法向量为n(x，y，z)，则有 xy0， xz0，取 x 1，则 y 1，z 1. 故平面 ABC 的一个法向量是(1， 1， 1)5(多选 )在如图所示的空间直角坐标系中，ABCDA1B1C1D1是棱长为1 的正方体，下列结论正确的是 () A平面 ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) B平面 B1CD 的一个法向量为(1,1,1) C平面 B1CD1的一个法向量为(1,1,1) D平面 ABC1D1的一个法向量为(0,1,1) 答案AC 解析 AD(0,1,0)， ABAD，AA1AD，又 ABAA1A，AD平面 ABB1A1，A 正确；CD(1,0,0)，而 (1,1,1)CD 10，(1,1,1)不是平面B1CD 的法向量， B 不正确；B1C (0,1， 1)，CD1 (1,0,1)，(1,1,1)B1C 0，(1,1,1)CD1 0，B1CCD1C，(1,1,1)是平面 B1CD1的一个法向量，C 正确；BC1 (0,1,1)，而 BC1 (0,1,1)20，(0,1,1)不是平面ABC1D1的法向量，即D 不正确6已知平面ABC，且 A(1,2，1)，B(2,0， 1)，C(3， 2,1)，则平面 ABC 的一个法向量为_答案(2,1,0)(答案不唯一 ) 解析AB(1， 2,0)，AC(2， 4,2)，设平面 ABC 的法向量为n(x，y，z)，则x2y 0，2x4y2z0，令 y1，得 x2， z0，故平面 ABC 的一个法向量为n(2,1,0)7在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P(2cos x1,2cos 2x2,0)和点 Q(cos x， 1,3)，其中x0， ，若直线OP 与直线 OQ 垂直，则x 的值为 _答案2或3解析由 OP OQ，得 OP OQ0，即(2cos x 1)cos x(2cos 2x2) (1)0. cos x0 或 cos x12. x0， ，x2或 x3. 8.在如图所示的坐标系中，ABCD A1B1C1D1表示棱长为1 的正方体，给出下列结论：直线 DD1的一个方向向量为(0,0,1)；直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；平面B1CD 的一个法向量为(1,1,1)其中正确的是_(填序号 ) 答案解析DD1 AA1 (0,0,1)， 故 正确；BC1 AD1 (0,1,1)， 故正确；直线 AD平面 ABB1A1，AD(0,1,0)，故 正确；向量 AC1 的坐标为 (1,1,1)，与平面B1CD 不垂直， 错9已知 A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2, 2)(1)写出直线BC 的一个方向向量；(2)设平面 经过点 A，且 BC 是 的法向量， M(x，y，z)是平面 内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式解(1)B(2,0,0)，C(0,2， 2)，BC(2,2， 2)，即 (2,2， 2)为直线 BC 的一个方向向量(2)由题意 AM (x 2，y2，z2)，BC平面 ，AM? ，BCAM，(2,2， 2) (x2， y2，z2) 0. 2(x2)2(y 2)2(z2)0. 化简得 xyz20. 10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中， E，F 分别是 BB1，DC 的中点，求证：AE是平面A1D1F 的法向量证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，E1，1，12，D1(0,0,1)，F 0，12，0 ， A1(1,0,1)，AE。