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1、全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试一、选择题（本题满分42 分，每小题7 分）本题共有6 小题，每题均给出了代号为DCBA,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7 分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分. 1设213aa，213bb，且ab，则代数式2
2、211ab的值为（）)(A5. )(B7. )(C9. )(D11. 【答】B. 解由题设条件可知2310aa，2310bb， 且ab， 所以,a b是一元二次方程2310 xx的两根，故3ab，1ab，因此222222222211()232 17()1ababababa bab. 故选B. 2如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若6AB，5BC，3EF，则线段BE的长为（）)(A185. )(B4. )(C215. )(D245. 【答】D. 解因为AD，BE，CF为三角形ABC的三条高， 易知,B C E F四点共圆，于是AEFABC，故35AFEFACBC，即3cos5BAC
3、，所以4sin5BAC. 在 RtABE中，424sin655BEABBAC. 故选D. 3从分别写有数字1， 2，3，4，5 的 5 张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3 的倍数的概率是（）)(A15. )(B310. )(C25. )(D12. 【答】C. 解能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23， 24，25，31，32，34，35，41， 42，43，45，51，52，53，54，共 20 个，其中是3 的倍数的数为12，15，21，24， 42，45，51，54，共 8 个. 所以所组成
4、的数是3 的倍数的概率是82205. 故选C. 2008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 1 页（共 9 页）4 在ABC中，12ABC，132ACB，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点,MN分别在直线AC和直线AB上，则（）)(ABMCN. )(BBMCN. )(CBMCN. )(DBM和CN的大小关系不确定. 【答】B. 解 12ABC，BM为ABC的外角平分线，1(18012 )842MBC. 又18018013248BCMACB，180844848BMC，BMBC. 又11(180)(180132 )2422ACNACB，18018012()BNCABCBCNA
5、CBACN168(13224 )12ABC，CNCB. 因此，BMBCCN.故选B. 5现有价格相同的5 种不同商品，从今天开始每天分别降价10或 20，若干天后，这5 种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为（）)(A39( )8. )(B49( )8. )(C59( )8. )(D98. 【答】B. 解容易知道， 4 天之后就可以出现5 种商品的价格互不相同的情况. 设 5 种商品降价前的价格为a，过了n天. n天后每种商品的价格一定可以表示为98(1 10%)(1 20%)()()1010kn kkn kaa，其中k为自然数，且0kn. 要使r的值最小，五种商
6、品的价格应该分别为：98()()1010in ia，1198()()1010in ia，2298()()1010in ia，3398()()1010in ia，4498()()1010in ia，其中i为不超过n的自然数 . 所以r的最小值为44498()()91010( )988()()1010in iin iaa. 故选B. 6 已知实数,x y满足22(2008)(2008)2008xxyy，则223233xyxy2007的值为（）)(A2008. )(B2008. )(C1. )(D1. 【答】D. 2008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 2 页（共 9 页）解22(
7、2008)(2008)2008xxyy，2222008200820082008xxyyyy，2222008200820082008yyxxxx，由以上两式可得xy. 所以22(2008)2008xx，解得22008x，所以22222323320073233200720071xyxyxxxxx. 故选D. 二、填空题（本题满分28 分，每小题7 分）1设512a，则5432322aaaaaaa2. 解225135()122aa，21aa，543232323222()2()2aaaaaaaaaaaaaa aa33332221211(1)(1 1)2(1)1aaaaaaaaaaa. 2 如图，正方形
8、ABCD的边长为1，,M N为BD所在直线上的两点，且5AM，135MAN，则四边形AMCN的面积为52解设正方形ABCD的中心为O，连AO，则AOBD，22AOOB, 222223 2( 5)()22MOAMAO, 2MBMOOB. 又135ABMNDA，13590NADMANDABMABMAB45MABAMB，2008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 3 页（共 9 页）所以ADNMBA，故ADDNMBBA，从而12122ADDNBAMB. 根据对称性可知，四边形AMCN的面积11225222(22)22222MANSSMNAO. 3已知二次函数2yxaxb的图象与x轴的两
9、个交点的横坐标分别为m，n，且1mn.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则pq12解根据题意，,m n是一元二次方程20 xaxb的两根，所以mna，mnb. 1mn，1mnmn，1mnmn. 方程20 xaxb的判别式240ab，22()1444amnb. 22244()()()11bmnmnmnmn，故14b，等号当且仅当12mn时取得；22244()()1()1bmnmnmnmn，故14b，等号当且仅当12mn时取得 . 所以14p，14q，于是12pq. 4依次将正整数1， 2，3，的平方数排成一串：149162536496481100121144，排在第1 个位置的数字
10、是 1，排在第5 个位置的数字是6，排在第10 个位置的数字是4，排在第 2008 个位置的数字是1 . 解21到23，结果都只各占1 个数位，共占1 33个数位；24到29，结果都只各占2 个数位，共占2612个数位；210到231，结果都只各占3 个数位，共占32266个数位；232到299，结果都只各占4个数位，共占4 68272个数位；2100到2316，结果都只各占5 个数位，共占5 2171085个数位；此时还差2008(312662721085)570个数位 . 2317到2411，结果都只各占6 个数位，共占695570个数位 . 所以，排在第2008 个位置的数字恰好应该是2
11、411的个位数字，即为1. 第二试（A）一 （本题满分20 分）已知221ab，对于满足条件01x的一切实数x，不等式(1)(1)()0axxaxbx bxbx（1）恒成立 .当乘积ab取最小值时，求,a b的值 . 解整理不等式（1）并将221ab代入，得2(1)(21)0ab xaxa（2）在不等式（ 2）中，令0 x，得0a；令1x，得0b.5 分易知10ab，21012(1)aab，故二次函数2(1)(21)yab xaxa的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0 和 1 之间 . 由 题 设 知 ， 不 等 式 （ 2 ） 对 于 满 足 条 件01x的 一 切 实 数x恒 成
12、 立 ， 所 以 它 的 判 别 式2(21)4(1)0aaba，即14ab. 10 分由方程组221,14abab（3）消去b，得42161610aa，所以2234a或2234a. 又因为0a，所以624a或624a，15 分于是方程组（ 3）的解为62,462,4ab或62,462.4ab2008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 4 页（共 9 页）所以ab的最小值为14，此时,a b的值有两组，分别为6262,44ab和6262,44ab.20 分二（本题满分25 分）如图，圆O与圆D相交于,A B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且ABBC. （1）证明：点O在圆D
13、的圆周上 . （2）设ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值 . 解（1）连,OA OB OC AC，因为O为圆心，ABBC，所以OBAOBC，从而OBAOBC.5 分因为,ODAB DBBC，所以9090DOBOBAOBCDBO，所以DBDO，因此点O在圆D的圆周上 . 10 分（2）设圆O的半径为a，BO的延长线交AC于点E，易知BEAC.设2ACy (0)ya，OEx，ABl，则222axy，()Sy ax，22222222()2222 ()aSlyaxyaaxxaaxa axy.15 分因为22ABCOBAOABBDO,ABBC,DBDO，所以BDOABC，所以BDBOABAC，即
14、2raly，故2alry. 20 分所以2 2223222()4422a laaSSaSryyyy， 即22Sr， 其中等号当ay时成立，这时AC是圆O的直径 .所以圆D的的半径r的最小值为22S. 25 分三 （本题满分25 分） 设a为质数，b为正整数，且29(2)509(4511 )abab（1）求a，b的值 . 2008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 5 页（共 9 页）解（1）式即2634511()509509abab，设634511,509509ababmn，则509650943511manab（2）故351160nma，又2nm，所以2351160mma（ 3）
15、 5 分由（ 1）式可知，2(2)ab能被 509 整除，而509 是质数，于是2ab能被 509 整除，故m为整数，即关于m的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式251172a为完全平方数 .10 分不妨设2251172at（t为自然数），则2272511(511)(511)attt. 由于511 t和511 t的奇偶性相同，且511511t，所以只可能有以下几种情况：51136 ,5112,tat两式相加，得3621022a，没有整数解. 51118 ,5114,tat两式相加，得1841022a，没有整数解. 51112 ,5116,tat两式相加，得1261022a，没有整数解.
16、 5116 ,51112,tat两式相加，得6121022a，没有整数解 . 5114 ,51118,tat两式相加，得4181022a，解得251a. 5112 ,51136,tat两式相加，得2361022a，解得493a，而49317 29不是质数，故舍去. 综合可知251a. 20 分此时方程（ 3）的解为3m或5023m（舍去） . 把251a，3m代入（ 2）式，得509 3625173b.25 分第二试（B）一 （本题满分20 分） 已知221ab，对于满足条件1,0 xyxy的一切实数对( , )x y，不等式2008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 6 页（共 9 页）220ayxybx（1）恒成立 .当乘积ab取最小值时，求,a b的值 . 解由1,0 xyxy可知01,01xy. 在（ 1）式中，令0,1xy，得0a；令1,0 xy，得0b. 将1yx代入（ 1）式，得22(1)(1)0axxxbx，即2(1)(21)0ab xaxa（2）5 分易知10ab，21012(1)aab，故二次函数2(1)(21)yab xaxa的图象（抛物线）的开口向
