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1、以方程为主的代数综合题2014-4-22 - 1 - 1、 已知：关于x 的方程0322kxkx 求证：方程0322kxkx总有实数根； 若方程0322kxkx有一根大于5且小于 7，求 k 的整数值； 在的条件下，对于一次函数bxy1和二次函数2y=322kxkx，当71x时，有21yy，求 b 的取值范围2、已知关于x 的方程（ k+1） x2+(3k-1)x+2k-2=0（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若抛物线y=（k+1） x2+(3k-1)x+2k-2 与 x 轴的两个交点之间的距离为3，求 k 的值以方程为主的代数综合题2014-4-22
2、 - 2 - 3、已知关于x 的方程032) 1(2kkxxk（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）当方程有两个相等的实数根时，求关于 y 的方程2(4 )10yak ya的整数根 （a为正整数） 4、已知：关于x 的一元二次方程02)21(22kxkx有两个实数根 . （1）求 k 的取值范围；（2）当 k 为负整数时，抛物线2)21 (22kxkxy与 x 轴的交点是整数点，求抛物线的解析式；（3）若（ 2）中的抛物线与y 轴交于点A，过 A 作 x 轴的平行线与抛物线交于点B，连接 OB，将抛物线向上平移 n 个单位， 使平移后得到的抛物线的顶点落在OAB 的内部 （
3、不包括 OAB 的边界） ，求 n 的取值范围 . -4-3-2-1-4-3-2-143214321Oxy以方程为主的代数综合题2014-4-22 - 3 - 5、已知：关于x 的一元二次方程：22240 xmxm. （1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线2224yxmxm与 x 轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；（3）将（ 2）中的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形C1,将图形 C1向右平移一个单位, 得到图形C2，当直线 y=xb (b0)与图形 C2恰有两个公共点时，写出b 的取值范围. 6、已知：关于x
4、的方程01342mxmx有两个不相等的实数根（ 1）求m的取值范围；（ 2 ） 抛 物 线C：1342mxmxy与x轴 交 于A、B两 点 若1-m且 直 线1l:12xmy经过点A, 求抛物线C的函数解析式；（3）在（ 2）的条件下，直线1l:12xmy绕着点A旋转得到直线2l：bkxy，设直线2l与y轴交于点D，与抛物线C交于点M（M不与点A重合），当23ADMA时，求k的取值范围以方程为主的代数综合题2014-4-22 - 4 - 7、已知：关于x的方程2(1)(1)20axax. （1） a 取何整数值时，关于x的方程2(1)(1)20axax的根都是整数；（2）若抛物线y=2(1)(
5、1)20axax的对称轴为x=1，顶点为M，当 k 为何值时，一次函数13ykxk的图象必过点M.8、在平面直角坐标系xOy 中， O 为坐标原点，已知抛物线221(2)1.4yxkxk（1） k 取什么值时，此抛物线与x 轴有两个交点？（2）此抛物线221(2)14yxkxk与 x 轴交于 A12(,0),0 xB x、两点（点 A 在点 B 左侧），且123xx，求 k 的值 . 以方程为主的代数综合题2014-4-22 - 5 - 1：证明： =(k2)24(k3) =k24k+44k+12 = k28k+16 =(k4)20 此方程总有实根。 -2分解：解得方程两根为x1=1 x2=3
6、k方程有一根大于5 且小于 7 53k7 4k2；k为整数k=3-4分解：由知 k=3 6522xxy-5分21yy012yy，即0662bxx- -6 分在71x时，有21yy1b-7分2：解：（ 1）当1k时，方程44x=0 为一元一次方程，此方程有一个实数根；当1k时，方程2(1)(31)22kxkxk=0 是一元二次方程， =（3k-1）2-4(k+1)(2k-2)=（k-3）2（ k-3）20，即 0， k 为除 -1 外的任意实数时，此方程总有两个实数根2 分综上，无论k 取任意实数，方程总有实数根（2）13(3)2(1)kkxk，x1=-1， x2=421k 方程的两个根是整数根
7、，且k 为正整数， 当 k=1 时，方程的两根为-1，0；当 k=3 时，方程的两根为-1，-1 k=1，34 分（3）抛物线 y=（ k+1）x2+(3k-1)x+2k-2 与 x 轴的两个交点之间的距离为3，12xx=3，或21xx=3当12xx=3时，k=-3 ；当21xx=3 时， k=0综上， k=0，-36分以方程为主的代数综合题2014-4-22 - 6 - 3：解：（ 1） =244(1)(3)kkk=2244812kkk=812k1 分方程有两个不相等的实数根，10,0.k即10,8120.kkk的取值范围是32k且1k 3 分（2）当方程有两个相等的实数根时，=812k=0
8、32k 4 分关于 y 的方程为2(6)10yaya2(6)4(1)aa2123644aaa21632aa2(8)32a由 a 为正整数，当2(8)32a是完全平方数时，方程才有可能有整数根设22(8)32am（其中 m 为整数），32p q（p、q均为整数），22(8)32am即(8)(8)32amam不妨设8,8.ampamq两式相加，得162pqa(8)am与(8)am的奇偶性相同，32 可分解为2 16，48，( 2)( 16)，( 4)( 8)，18pq或12或18或1217a或14或1（不合题意，舍去）或2当17a时，方程的两根为1172y，即12y，29y5 分当14a时，方程的
9、两根为822y，即13y，25y6 分当2a时，方程的两根为422y，即13y，21y 7 分4： 解：（ 1）由题意得，0)2(42122kk）（.1分解得，49kK 的取值范围是49k. .2 分（2）k 为负整数， k=-2，-1. 以方程为主的代数综合题2014-4-22 - 7 - 当 k=-2 时，232xxy与 x 轴的两个交点是（-1，0）（ -2，0）是整数点，符合题意3分当 k=-1 时，12xxy与 x 轴的交点不是整数点，不符合题意 .4分抛物线的解析式是232xxy（3）由题意得，A（0， 2）， B（-3，2）设 OB 的解析式为mxym32,解得32mOB 的解析
10、式为xy32232xxy的顶点坐标是（23，41）OB 与抛物线对称轴的交点坐标（23，1） .5分直线 AB 与抛物线对称轴的交点坐标是（23， 2） 6 分有图象可知，n的取值范围是4945n7分5：（ 1）证明016)4(4)2(22mm 1 分该方程总有两个不相等的实数根. 2 分（2）由题意可知y 轴是抛物线的对称轴，02m，解得0m 4 分此抛物线的解析式为42xy. 5 分（3） - 3b1 7 分6：解：（ 1）13442mm22m .1 分方程01342mxmx有两个不相等的实数根02m .2 分（2）抛物线1342mxmxy中，令0y，则01342mxmx，解得：31x，m
11、x12 .3 分抛物线与x轴的交点坐标为0 ,3和0,1m直线1l:12xmy经过点A当点A坐标为0,3时0132m，以方程为主的代数综合题2014-4-22 - 8 - 解得32m当点A坐标为0,1m时0112mm，解得2m或1m又1-m1-m且0, 2A抛物线C的解析式为652xxy； . 4 分（ 3）设65,2MMMxxxM当点M在A点的右侧时，可证OAOAxADAMM若23ADAM，则2322Mx，此时5Mx,6, 5M过点A的直线2l：bkxy的解析式为kkxy26, 5M时625kk，求得2k .5 分当点M与A点重合时直线2l与抛物线C只有一个公共点解得6522xxykkxy0
12、2652kxkx令026452kk, 求得1k .6 分当点M在A点的左侧时可证OAxOAADAMM若23ADAM，则2322Mx，此时1Mx,12, 1M122kk，解得4k综上所述，当23ADMA时42k且1k .7 分7：解：（1）当10a时，即1a时，原方程变为220 x.方程的解为1x； 1 分当10a时，原方程为一元二次方程2(1)(1)20axax. 2224(1)4(1) 2(3)0bacaaa. (1)(3)2(1)aaxa，解得1221,.1xxa. 3分 方程2(1)(1)20axax的根都是整数 . 以方程为主的代数综合题2014-4-22 - 9 - 只需21a为整数
13、 当11a时，即 a=2 或 a=0 时， x=1 或 x=2；4分当12a时，即 a=3 或 a=1 时， x=1 或 x=1； 5 分a 取 0， 1，1，2，3 时，方程2(1)(1)20axax的根都是整数 . 6 分（2）抛物线 y=2(1)(1)20axax的对称轴为x=1，12ba，13a. 顶点坐标为M（ 1，83）. 把 M 点坐标代入一次函数13ykxk中，则4.k7分当4k时，一次函数13ykxk的图象必过点M.8：解 : （ 1）抛物线221(2)14yxkxk与 x 轴有两个交点, 2210,(2)1=04yxkxk令即1分221(2)4 1 (1)04kk224440kkk40k0k，即0k时，此抛物线与x 轴有两个交点2分（2）抛物线221(2)14yxkxk与 x 轴交于 A12(,0),0 xB x、两点1,2242kkx， 3分点 A 在点 B 左侧，即12xx ，又0k，2421kkx02422kkx4分22xx. 123xx，123xx，242-4+=322kkkk即1k7分
