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1、平面几何一题多变之袁州冬雪创作在完成一个数学题的解答时，有需要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质. 如果能对一个普通的数学题停止一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，势必使人受益匪浅. “一题多变”的常常使用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、保存条件，深化结论；3、减弱条件，加强结论；4、探讨命题的推广；5、考察命题的特例；6、生根伸枝，图形变换；7、接力赛，一变再变；8、解法的多变等.19、（增加题1 的条件） AE平分 BAC交 BC于 E，求证：CE ：EB=CD ：CB20、（增加题1 的条件） CE 平
2、分 BCD ，AF 平分 BAC 交BC于 F求证：（ 1）BF CE= BE DF（2）AE CF（ 3 ） 设AE 与CD 交 于Q， 则FQ BC 21、已知， ABC中， ACB=90度， CD AB ，D 为垂足，以CD 为直径的圆交AC 、BC 于 E、F，求证： CE：BC=CF ：AC（注意本题和16 题有无接洽）22、已知， ABC中， ACB=90度， CD AB ，D 为垂足，以AD为直径的圆交AC于 E，以 BD为直径的圆交BC于 F，求证： EF 是 O1和 O2的一条外公切线23、已知， ABC中， ACB=90度， CD AB ，D 为垂足，作以 AC为直径的圆O
3、1 ，和以 CD为弦的圆O2 ，求证：点A 到圆 O2的切线长和AC相等（ AT=AC ）24、已知， ABC中， ACB=90 度， CD AB ，D 为垂足， E为 ACD的中点，连ED并延长交 CB的延长线于F，求证： DF ：CF=BC ：AC25、如图， O1与 O2外切与点 D，内公切线DO交外公切线EF于点O，求证： OD是两圆半径的比例中项.题14解答：因为CD2=A D DBAC2=AD ABBC2=BD AB所以1/AC2+1/BC2 =1/（AD AB）+1/（BD AB）=（AD+DB）/（AD BD AB）=AB/AD BD AB=1/ADBD=1/CD215题解答：
4、因为M 为 AB 的中点，所以AM=MB ， AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DM AC2-BC2=AD*AB-DB*AB =(AD-DB)AB =2DM*AB26、（在19 题基础上增加一条平行线）已知，ABC中，ACB=90度， CD AB ，D 为垂足， AE 平分 BAC 交 BC 于E、交 CD于 F，FG AB交 BC于点 G ，求证： CE=BG27、（在19 题基础上增加一条平行线）已知，ABC中，ACB=90度， CD AB ，D 为垂足， AE 平分 BAC 交 BC 于E、交 CD于 F，FG BC交 AB于点 G ，保持 EG ，求证：四边形 CEGF 是菱形
5、28、（对19 题增加一个结论）已知，ABC中， ACB=90度， CD AB ，D为垂足， AE平分 BAC交 BC于 E、交 CD于F，求证： CE=CF29、（在23 题中去掉一个圆）已知，ABC中， ACB=90度， CD AB ，D 为垂足，作以AC 为直径的圆O1 ， 求证：过点 D的圆 O1的切线平分BC30、（在19 题中增加一个圆）已知，ABC中， ACB=90度， CD AB ，D为垂足， AE平分 BAC交 BC于 E，交 CD于F，求证： CED平分线段 AF31、（在题1 中增加一个条件）已知，ABC中， ACB=90度， CD AB ，D 为垂足， A=30 度，求
6、证： BD=AB/4 （沪科版八年级数学第117 页第 3 题）32、（在18 题基础上增加一条直线）已知，ABC中，ACB=90度， CD AB ，D为垂足，作 BCE= BCDP 为 AC上任意一点，直线PQ交 CD于 Q ，交 CB于 M ，交 CE于 N求证：PQ/PN=QM/MN32题证明：作NSCD交直线AC与点S，则PQ/PN=CQ/SN 又BCE=BCD QM/MN=CQ/CN （ 三 角 形 内 角 平 分 线 性 质 定 理 ）BCE+NCS=BCD +ACD NSCD，NSC=ACD NSC=NCS SN=CN PQ/PN=QM/MN题 33 在“题一中”，延长CB到 E
7、，使 EB=CB ，保持AE 、DE ，求证： DE AB= AE BE题33证明CB2= BD AB因EB=CB EB2= BD ABEB：BD=AB：BE 又EBD=ABE EBDABE EB：AB=DE：AE DE AB= AE BE题 34（在 19 题基础上增加一条垂线）已知，ABC中，ACB=90度， CD AB ，D为垂足， AE平分 CD于 F，EG AB交AB于点 G ，求证： EG2= BE EC证明：延长AC 、GE ，设交点为H ，EBGEHC EB：EH=EG：EC EH EG= BE EC又HGCD，CF=FD EH=EG EG2= BE EC题 35（在题19 中
8、增加点F）已知， ABC中， ACB=90度， CD AB ，D为垂足， AE 平分 BCA交 BC于点 E，交 CD于 F，求证： 2CF FD = AFEF题 36、（在题16 中，减弱条件，删除ACB=90度这个条件）已知， ABC中， CDAB ，D 为垂足， DE AC 于 E，DF BC于 F，求证： CE/BC=CF/AC题 37（在题17 中，删除 ACB=90度和 CD AB ，D 为垂足这两个条件，增加D 是 AB 上一点，知足ACD= ABC ）已知， ABC中， D 是 AB 上一点，知足ACD= ABC ，又 CE平分 BCD求证： AE2= AD AB题 38 已知
9、， ABC中， ACB=90度， CD AB ，D 为垂足，PC为 ABC的切线求证： PA/AD=PB/BD 题 39（在题19 中点E“该为E 为 BC 上任意一点”）已知， ABC中， ACB=90度， CD AB ，D 为垂足， E 为 BC上任意一点，保持AE ，CF AE，F 为垂足，保持DF ，求证： ADF AEB题 40：已知， ABC 中， ACB=90度， CD AB ，D 为垂足求证： SADC ：SBDC=AD ：DB题 41 已知，如图，ABC 中， CD AB， D 为垂足，且AD/CD=CD/BD ，求 ACB的度数 .题 42 已知， CD是 ABC的 AB边
10、上的高， D 为垂足，且 AD/CD=CD/BD ，则 ACB一定是 90 度吗？为什么？题 43：已知，ABC 中， ACB=90 度， CD AB ，D 为垂足， ADC的内切圆 O1 ， BDC的内切圆 O2，求证： SO1 ：SO2=AD ：DB题 44：已知，ABC 中， ACB=90 度， CD AB ，D 为垂足， ADC的内切圆 O1 的半径R1， BDC的内切圆 O2的 半 径R2， ABC 的 内 切 圆 O 的 半 径R， 求 证 ：R1+R2+R=CD 题 45、已知，ABC 中， ACB=90 度， CD AB ，D 为垂足，作以 AC为直径的圆O1 ，和以 BD为直
11、径的圆O2 ，设 O1和 O2在 ABC内交于 P 求证：PAD的面积和 PBC的面积相等题45解： CAP= CDP= DBP （ 圆周 角、 弦切 角）RtAPCRtBPD AP PD= BP PC又 APD 和 CPB 互 补 （ APC+ BPD=180 度 ）S PAD=1/2 AP PD sinAPD S PBD =1/2BP PC sinCPB S PAD= S PBD题 46（在题38 的基础上变一下）已知，ABC 中，ACB=90度， CD AB ，D 为垂足， PC为 ABC的切线，又CE平分 ACB 交 ABC 与 E，交AB 与 D ，若PA=5，PC=10，求CD C
12、E的值题 47 在题 46 中，求 sin PCA题 48（由题 19 而变）已知，ABC中， ACB=90度， CD AB ，D为垂足， AE平分 ACB交 BC于 E，EG AB交 AB于点G ，求证：（ 1）AC=AG （2）、AG2= AD AB （ 3）、 G 在DCB的平分线上（ 4）、 FG BC （5）、四边形CEFG 是菱形题 49题 49 解答：题目 50（题 33 再变）已知，ABC中， ACB=90度， CD AB ，D为垂足，延长CB到 E，使 EB=CB ，保持 AE交 CD的延长线于 F，如果此时AC=EC ，求证： AF= 2FE题50解：过点 E 作 EM C
13、F ，M为垂足，则AD ：DB=AC2 ：CB2=4 ：1 又DB：EM=1：2 所以，AD：EM=2：1 ADFEMF AF：EF=AD：EM=2：1 AF=2EF题目 51（题 50 中连一线）已知，ABC中， ACB=90度，CD AB ，D为垂足，延长CB到 E，使 EB=CB ，保持 AE交 CD的延长线于F，保持FB，如果此时AC=EC ，求证：ABC=EBF（题51的几种解法）解法1、作 ACB 的 平 分 线 交AB 于 点G， 易 证 ACG CEF CG=EF 证CBGEBF ABC= EBF题51解法2 作 ACB 的 平 分 线 交AB 于 点G， 交AE 于 点P，则
14、点G 为ACE的垂心，GF CE 又AEC=GCE，四边形CGFE为等腰梯形CG=EF 再证CBGEBF ABC= EBF题51解法3 作 ACB 的 平 分 线 交AB 于 点G， 交AE 于 点P，则点G 为ACE的垂心，易证APGCPF（AAS）PG=PF 又GPB=FPB，PB=PB PBGFBP（SAS）PBG=FBP ABC= EBF题51解法4（原题图）由题50得，AF=2EF AF：EF=AC：BE=2 又CAF=BEF=45度ACFEBF ACF=EBF 又ACF=CBA ABC= EBF题51解法5 作ME CE交CD的延长线于M ，证ABCCME（ASA）ABC=M 再证
15、MEFBEF（SAS）EBM=M ABC= EBF题51解法6 作 点B关 于 点C的 对 称 点N ， 保 持AN ，则NB=2BE，又由题50，AF=2EF，BFAN EBM=N 又ABC=N（对称点） ABC= EBF题51解法7 过点C作CHBF交AB于M，B为CE的中点，F为HE的中点又由题50，AF=2EF，H为AF的中点又CHBF M为AB的中点MCB=MBC 又EBM=MCB ABC= EBF题 目52（ 题50、 51 结 论的引 伸 ） 已 知， ABE 中 ，AC=EC ， ACE=90度， CD AB交斜边 AB于 F，D 为垂足， B为 CE 的中点，保持FB， 求证
16、：（ 1）、 AF=2EF （2）、ABC= EBF （3）、 EBF= E+BAE （4）、 ABF=2 DAC（5）、 AB ：BF=AE ：EF（6）、 CD ：DF=AE ：AF（7）、 AD ：DB=2AF ：EF（8）、CD/DF FA/AE EB/BC=1题目53 （题52 的一部分）已知如图，、AC=CE、 AC CE 、 CB=BE 、 CF AB 求证：、 AF=2EF 、ABC= EBF（题 53 的 14 个抗命题中，是真命题的请给出证明）题目54（题 53 的抗命题1）已知如图，、AF=2EF 、 AC CE、 CB=BE 、 CFAB 求证：、AC=CE 、 ABC= EBF平面几何一题多变题目55（题 53 的抗命题2）已知如图，、 AC=CE 、 AF=2EF 、 CB=BE 、 CFAB 求证：、 ACCE 、 ABC= EBF题目 56（题 53 的抗命题3）已知如图，、 AC=CE 、 AC CE 、 AF=2EF 、 CFAB 求证：、 CB=BE 、 ABC= EBF题目 57（题 53 的抗命题 4）已知如图，、AC=CE 、 AC CE、
