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1、第 8 课时 不等式性质应用趣题“两边夹不等式”的推广及趣例教学要求：理解“两边夹不等式”的推广及应用教学过程：一、情境引入大家都熟知等比定理：若dcba，则dcdbcaba。若将条件中的等式改为不等式，如dcba，那么结论如何呢 ?课本上有这样一道练习：已知dcba,都是正数，且adbc，则dcdbcaba(高中数学第二册 (上)(人教版 )，在平时的教学过程中， 稍不注意， 其丰富的内涵和研究价值便被忽略了。下面为了说明问题的方便，称不等式dcdbcaba为两边夹不等式。当然这个不等式的证明是简单的，而探讨这个不等式却别有一番风味对该不等式的探讨是从它的一个简单应用开始的二、 “两边夹不等
2、式”理解推广1、两边夹不等式的两种理解解： （1）实际意义的理解： 有同种溶液 (如糖水 )A、B，已知溶液 A 的浓度为ba，溶液 B 的浓度dc，现将两种溶液混合成溶液C，此时溶液浓度为dbca，由日常生活经验知道有dcdbcaba。（2）几何意义的理解：由分式联想到 直线 的 斜 率 ， 设),(abAO，),(cdBO则直线 OA、OB 斜率分别是ba，dc(如图 1)，则),(cadbBOAO， 它表示图中的CO,显然直线 OC 的斜率介于 OA、 OB的斜率之间，即dcdbcaba。进一步探讨我们还可以得到更多的结论，如)2,2(2cadbBOAODO得到不等式dcdbcaba22
3、，仿此还可到几个不等式链：（1）dcndbncadbcadbcadbcaba3322（2）dcdnbcnadbcadbcadbcaba3322（3）dcndmbncmaba（其中Nnm,）2两边夹不等式的一个简单应用练习 1、 利用此不等式， 可以轻松地证明下面这个经典不等式：已知mba,都是正数，且ba，求证：mbmaba。分析：ba，mmba1，由两边夹不等式立即得mbmaba3两个有意义的推广推 论1( 等 比 定 理 的 推 广 ) ： 已 知), 3 ,2, 1(,niRbaii， 若nnbabab2211a，则nnniiniibabab1111a。利用两边夹不等式可以容易得到证明，
4、这里从略。由于分数的分子分母同乘以一个非零实数，分数的值不变， 那么将ba与dc的分子分母各乘以非零实数1，2又有什么结论呢 ? 推论2(一般性推广 )：若正数dcba,及非零实数1，2满足dcba，则dcdbcaba2121证明：,11babadcdc22，dcba由两边夹不等式立即得dcdbcaba2121练习 2、无限夹数游戏(1)给你任意两个正分数，你能写出大小介于它们之间的一些数吗? 如31与21，31与52，52与21等。依据两边夹不等式可以得到52介于31与21之间，83介于31与52之间，73介于52与21之间。三、本节小结：本节主要讲了两边夹不等式几何意义理解及两种推广。四、作业：探求“黄金分割数”在 0、l 之间用两边夹不等式可以依次写出一些数，写这些数时按以下的规律进行：第一个数为211a，此时得到两个区间A1=（0，21） ，B1=(1 ,21)在区间 B1 内利用两边夹不等式得到第二个数a2=32；此时 a2又将区间 B1 分成两个区间A2=(3221，),B2=(1 ,32)在区间A2 中利用两边夹不等式得到第三个数a=53，依此类推，可以得到数列na ，数列 na 的极限称为黄金分割数，求此极限。 (215limnna)
