初高中数学衔接【第12 讲】 分式不等式和特殊的高次不等式的解法【合作探究】探究一简单分式不等式的解法【例 1-1】 解不等式：073xx归纳总结：【练习 1-1】解下列不等式：(1) 2301xx(2) 2301xxx【例 1-2】 解不等式132x【练习 1-2】解下列不等式（1）51x（2）2132xx探究二简单的高次不等式的解法【例 2-1】 解不等式：(1)(2)(3)0 xxx；解法一（列表法） ：归纳总结 ：解法二：（穿根法）归纳总结 ：【例 2-2】 解不等式：23(2) (3) (1)0 xxx归纳总结 ：【练习 2-1】解不等式：2(3)(1)(44)0 xxxx归纳总结 ：【练习 2-2】解不等式（1）32xx（ 2）22(712)(6)0 xxxx（3）310(2)(3)xxx【课后作业】1解下列不等式：（1）2(2) (3)01xxx（2）2(2) (3)01xxx（3）2(2) (5)04xxx（4）23(2) (3)01xxx（5）22(5)(3)0(1) (2)xxxx2解下列不等式：(1) 222310372xxxx（2）3113xx（3）2223712xxxx（ 4）1111xxxx3解下列不等式：2(12)()0 xxxa【第 12 讲】 分式不等式和特殊的高次不等式的解法【合作探究】探究一简单分式不等式的解法【例 1-1】 解不等式：073xx【解析】：解法 1：化为两个不等式组来解：073xx07030703xxxx或x 或37x37x， 原不等式的解集是37x|x解法 2：类似于一元二次不等式的解法，运用“ 符号法则 ” 将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解073xx070)7)(3(xxx37x， 原不等式的解集是37x|x.归纳总结：（ 1）0()()0axbaxb cxdcxd；0()()0axbaxb cxdcxd（2）()()000axb cxdaxbcxdcxd；()()000axb cxdaxbcxdcxd【练习 1-1】解下列不等式：(1) 2301xx(2) 2301xxx【解析】：（ 1）原不等式可化为：3(23)(1)012xxx，所以原不等式的解集为3| 12xx(2) 22131()024xxx，原不等式可化为：303xx，所以原不等式的解集为|3x x【例 1-2】 解不等式132x【解析】：原不等式可化为：(35)(2)013535530002202223xxxxxxxxxx或，所以原不等式的解集为5|23x xx或【练习 1-2】解下列不等式（1）51x（2）2132xx【解析】：（1）50(5)005xx xxx， 所以原不等式的解集为|05xx（2）21302xx70722xxx， 所以原不等式的解集为| 72xx探究二简单的高次不等式的解法【例 2-1】 解不等式：(1)(2)(3)0 xxx；解法一（列表法） ：检查各因式中x的符号均正；求得相应方程的根为：2，1，3；列表如下：-2 1 3x+2- +x-1- - +x-3- - - +各因式积- +- +由上表可知，原不等式的解集为：| 213xxx或归纳总结 ：此法叫列表法，解题步骤是：将不等式化为12()()()0(0)nxxxxxx形式（各项x的系数化为正数） ，令12()()()0nxxxxxx，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成1n部分 ；按各根把实数分成的1n部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；看下面各因式积的符号写出不等式的解集解法二：（穿根法）(1)(2)(3)0 xxx的根是2，1，3，在数轴上表示这三个数，由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点若不等式（x的系数化 “+”后）是 “ 0”，则找 “ 线” 在x轴上方的区间；若不等式是 “0”，则找 “ 线” 在x轴上方的区间；若不等式是“0”，则找“ 线” 在x轴下方的区间注意：奇穿偶不穿【例 2-2】 解不等式：23(2) (3) (1)0 xxx【解析】：检查各因式中x 的符号均正；求得相应方程的根为：1，2，3（注意： 2 是二重根， 3是三重根）；在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上 方开始），如下图： 原不等式的解集为：| 123xxx或2.归纳总结 ：3是三重根， 在 C 处穿三次， 2是二重根， 在 B 处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x) 有相同因式1()nxx时，n为奇数时，曲线在1x点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在1x点处不穿过数轴，不妨归纳为“ 奇穿偶不穿 ” 【练习 2-1】解不等式：2(3)(1)(44)0 xxxx【解析】： ：将原不等式化为：2(3)(1)(2)0 xxx；求得相应方程的根为：2（二重），1，3；在数轴上表示各根并穿线，如图： 原不等式的解集是| 132xxx或归纳总结 ：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但 x=-2 满足 “=”的条件，不能漏掉【练习 2-2】解不等式（1）32xx（ 2）22(712)(6)0 xxxx（3）310(2)(3)xxx【解析】：（ 1）2230 xxx(1)(3)0 x xx103xx或，所以原不等式的解集为|103x xx或（2）(3)(2)(3)(4)0 xxxx，所以原不等式的解集为|3234x xxx或或（3）2(1)(1)0(2)(3)xxxxx(2)(1)(3)023xxxxx且所以原不等式的解集为| 213xxx或【课后作业】1解下列不等式：（1）2(2) (3)01xxx（2）2(2) (3)01xxx（3）2(2) (5)04xxx（4）23(2) (3)01xxx（5）22(5)(3)0(1) (2)xxxx2解下列不等式：(1) 222310372xxxx（2）3113xx（3）2223712xxxx（ 4）1111xxxx3解下列不等式：2(12)()0 xxxa【参考答案】1 （1）| 1223xxx或（2）| 13xx（3）|245x xx或（4）| 1223xxx或（5）| 25xx2 （1）11|1223x xxx或或（2）( 2,3)（3）|5112x xxx或或（4）| 101 xxx或3解：(3)(4)()0 xxxa44( 3,4)(,)aaa当，即时，解集为；3443( 3,)(4,)aaa当，即时，解集为；33(,3)(4,)aaa当，即时，解集为；44( 3,)aa当，即时，解集为；33(4,)aa当，即时，解集为。
