1 【新高考】最全双曲线二级结论1.122PFPFa2.标准方程22221xyab3.111PFed4点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角 . 5PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8设 P 为双曲线上一点，则PF1F2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点. 9双曲线22221xyab（a0,b0）的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)A a，与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 10若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a 0,b0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab. 11若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab. 12 AB 是双曲线22221xyab（a0,b0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为 AB 的中点，则22OMABbkka. 13若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a 0,b0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab. 14若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是2 22002222x xy yxyabab. 15 若PQ是 双 曲 线22221xyab（ b a 0 ） 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 ， 则122222121111(|,|)rOPrOQrrab. 16 若 双 曲 线22221xyab（ b a 0 ） 上 中 心 张 直 角 的 弦L所 在 直 线 方 程 为1AxBy(0)AB,则(1) 222211ABab;(2) 424222222|a Ab BLa Ab B. 17给定双曲线1C：222222b xa ya b（ab0）, 2C：222222222()abb xa yabab,则 (i) 对1C上 任 意 给 定 的 点00(,)P xy, 它 的 任 一 直 角 弦 必 须 经 过2C上 一 定 点M2222002222(,)ababxyabab. (ii) 对2C上任一点00(,)P xy在1C上存在唯一的点M,使得M的任一直角弦都经过P点 . 18设00(,)P xy为双曲线22221xyab（a0,b0）上一点， P1P2为曲线 C 的动弦 ,且弦 PP1, PP2斜率存在，记为k1, k2, 则直线P1P2通过定点00(,)M mxmy(1)m的充要条件是212211m bkkm a. 19过双曲线22221xyab（a0,bo）上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb xka y（常数） . 20双曲线22221xyab（a0,b o）的左右焦点分别为F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点12F PF，则双曲线的焦点角形的面积为122cot2F PFSb，3 2222(cot,cot)22abPcbcc. 21若 P为双曲线22221xyab（a 0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, 12PF F, 21PF F，则tant22cacoca（或tant22cacoca）. 22双曲线22221xyab（a0,b o）的焦半径公式：1(,0)Fc, 2( ,0)F c当00(,)M xy在右支上时，10|MFexa,20|MFexa. 当00(,)M xy在左支上时，10|MFexa,20|MFexa. 23若双曲线22221xyab（a0,b0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1e21时，可在双曲线上求一点P， 使得 PF1是 P 到对应准线距离d1与 PF2的比例中项 . 24P为双曲线22221xyab（a0,b 0）上任一点 ,F1,F2为二焦点， A 为双曲线左支内一定点，则21| 2|AFaPAPF,当且仅当2,A F P三点共线且P在左支时，等号成立. 25双曲线22221xyab（a0,b 0）上存在两点关于直线l：0()yk xx对称的充要条件是22220222()0abaxkkab kb且. 26过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 . 28 P 是双曲线sectanxayb（a 0，b0）上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是2211tane. 4 29设 A,B 为双曲线2222xykab（a0,b0，0,1kk）上两点，其直线AB 与双曲线22221xyab相交于,P Q,则APBQ. 30在双曲线22221xyab中，定长为2m（0m）的弦中点轨迹方程为222222222222222221coshsinh,coth,001sinhcoshcoth,00 xyayatbttxtabbxmxybxatbttytabay时，弦两端点在两支上，时，弦两端点在同支上31设 S 为双曲线22221xyab（a0,b0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线右支 上 移 动 ， 记 |AB|=l，00(,)M xy是AB中 点 ， 则 当lS时 ， 有20min()2alxce222(cab,cea);当lS时，有220min()42axblb. 32双曲线22221xyab（ a 0,b 0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222A aB bC. 33双曲线220022()()1xxyyab（ a0,b0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()A aB bAxByC. 34设双曲线22221xyab（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上 任 意 一 点 ， 在 PF1F2中 ， 记12F PF, 12PF F,12F F P， 则 有sin(sinsin)cea. 5 35经过双曲线22221xyab（a0,b0）的实轴的两端点A1和 A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和 P2，则21122| |PAP Ab. 36 已知双曲线22221xyab（ba0） ， O 为坐标原点， P、 Q 为双曲线上两动点， 且OPOQ.（1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a bba;（3）OPQS的最小值是2222a bba. 37MN 是经过双曲线22221xyab（a0,b0）过焦点的任一弦(交于两支 )，若 AB 是经过双曲线中心O 且平行于MN 的弦，则2|2 |ABa MN. 38 MN 是经过双曲线22221xyab（ab 0）焦点的任一弦(交于同支 )，若过双曲线中心O 的半弦OPMN，则2222111|a MNOPba. 39设双曲线22221xyab（a0,b0）,M(m,o) 为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过 M 引一条直线与双曲线相交于P、Q 两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为两顶点 )的交点 N在直线l：2axm上. 40设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、N 两点，则MF NF. 41过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、 A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 42设双曲线方程22221xyab,则斜率为k(k 0)的平行弦的中点必在直线l：ykx的共轭直线yk x上,而且22bkka. 6 43设 A、B、C、D 为双曲线22221xyab（a0,bo）上四点 ,AB、 CD 所在直线的倾斜角 分 别 为,， 直 线AB与CD相 交 于P, 且P不 在 双 曲 线 上 , 则22222222| |cossin| |cossinPAPBbaPCPDba. 44已知双曲线22221xyab（a0,b0）,点 P 为其上一点F1, F 2为双曲线的焦点，12F PF的内（外）角平分线为l，作 F1、F2分别垂直l于 R、S，当 P 跑遍整个双曲线时，R、S 形成的轨迹方程是222xya(2222222222a yb x xcc ya ybxc). 45设 ABC 三顶点分别在双曲线上，且 AB 为的直径，l为 AB 的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC 、BC 于 E 和 F，又 D 为l上一点，则CD 与双曲线相切的充要条件是 D 为 EF 的中点 . 46过双曲线22221xyab（a0,b0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交x 轴于 P，则|2PFeMN. 47设 A（x1 ,y1）是双曲线22221xyab（a 0,b0）上任一点， 过 A 作一条斜率为2121b xa y的直线L，又设d 是原点到直线L 的距离 , 12,r r分别是A 到双曲线两焦点的距离，则1 2r r dab. 48已知双曲线22221xyab（a0,b0）和2222xyab（01） ，一条直线顺次与它们相交于A、B、C、D 四点，则 AB =|CD.49已知双曲线22221xyab（a0,b0） ,A、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点0(,0)P x, 则220abxa或220abxa. 7 50设 P 点是双曲线22221xyab（a 0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，则 (1)2122|1cosbPFPF.(2) 122cot2PF FSb. 51设过双曲线的实轴上一点B（ m,o）作直线与双曲线相交于P、Q 两点， A 为双曲线实轴的左顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：xn于 M， N 两点 ,则90MBN2222()anmamambna. 52 L 是经过双曲线22221xyab（a 0,b0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A、B 是双曲线 的 两 个 顶 点 ， e 是 离 心 率 ,点PL， 若APB， 则是 锐 角 且1sine或1sinarce（当且仅当|PFb时取等号） . 53 L 是经过双曲线22221xyab（a0,b0）的实轴顶点A 且与 x 轴垂直的直线，E、F是双曲线的准线与x 轴交点 ,点PL，e 是离心率，EPF，H 是 L 与 X 轴的交点c是半焦距，则是锐角且1sine或1sinarce（当且仅当|abPAc时取等号） . 54 L 是双曲线22221xyab（ a0,b0）焦点 F1且与 x 轴垂直的直线，E、F 是双曲线准线与 x 轴交点， H 是 L 与 x 轴的交点，点PL，EPF,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且21sine或21sinarce（当且仅当221|bPFacc时取等号） . 55已知双曲线22221xyab（a0,b 0） ，直线 L 通过其右焦点F2,且与双曲线右支交于A、B 两点，将A、B 与双曲线左焦点F1连结起来，则222112(2)| |abF AF Ba（当且仅当ABx 轴时取等号）. 56设A、B 是双曲线22221xyab（a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB, PBA,BPA， c、 e 分 别 是 双 曲 线 的 半 焦 距 离 心 率 ， 则 有8 (1)22222|cos|s|abPAac co.(2) 2tantan1 e.(3) 22222cotPABa bSb。