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1、1 操作次数决定解题策略以概率事件中操作次数为依据分列各种情形下的解题策略1. 一次操作问题当问题情形是从若干元素中抽取一个元素（如一次操作问题）时，可以直接应用公式P（A）mn（m表示事件A发生可能出现的结果数，n表示一次试验所有等可能出现的结果数）。2. 两次操作问题当问题情形是从若干元素中抽取两个元素或对某个试验进行两次操作时，可选用列表法或树形图法。方法归纳： 无论是列表法还是树形图法都要列举出事件发生的所有可能情况，不能遗漏，求某一事 件的概率其实质就是求所求情况数与总情况数之比。解答两次以上摸球类概率问题时注意是不是放回。总结：1. 能够用列举法求概率。2. 能借助列表法或树形（状
2、）图解决较为复杂的概率问题。例题 1在九张质地都相同的卡片上分别写有数字4， 3， 2， 1，0， 1，2，3，4，从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值不大于2 的概率是 _。解析： 让绝对值不大于2 的数的个数除以数的总数即为所抽卡片上数字的绝对值不大于2 的概率。答案： 数的总个数有9 个，绝对值不大于2 的数有 2， 1，0，1，2 共 5 个，任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值不大于2 的概率是59。点拨： 本题考查概率公式，只进行了一次操作，用所求情况数与总情况数之比求概率即可。得到绝对值不大于2 的数的个数是解决本题的易错点。例题 2一不透明的布袋里，装有红、黄、
3、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球 2 个，蓝球1 个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为12。（ 1）求口袋中黄球的个数；（ 2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列2 表法”，求两次摸出都是红球的概率；（ 3）现规定：摸到红球得5 分，摸到蓝球得2 分，摸到黄球得3 分（每次摸后放回） ，乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，若随机再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10 分的概率。解析： （ 1）首先设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得：221x12，解此方程即可； （2）首先
4、根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；（ 3）由于乙同学第一次已摸到一个红球，第二次摸到一个蓝球，若再随机摸一次，则有4 种等可能结果，分别计算4 种情况的得分，再求三次摸球所得分数之和不低于10分的概率。答案： （1）设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得：22 1x12，解得：x1，经检验：x1 是原分式方程的解；口袋中黄球的个数为1 个；（ 2）画树状图得：共有 12 种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况，两次摸出都是红球的概率为：21216；（3）摸到红球得5 分，摸到蓝球得2 分，摸到黄球得3 分，而乙同学在一
5、次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，第三次再随机摸一次，可能是红、红、黄、蓝。即在这次摸球游戏中乙同学摸球情况是：红、蓝、红，红、蓝、红，红、蓝、黄，红、蓝、蓝，共 4种情况，得分不低于10 分的有 3 种情况，所求概率为34。点拨： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率。列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件。第（ 1）题属于一次操作，第（2）题属于二次操作，第（3）题实质是一次操作，因为乙同学第一次摸球和第二次摸球已经确定，求概率的事件是第三次摸球发生的情况而不是整个的三次摸球游戏
6、。三次及三 次以上操作概率问题的解题策略对于两步以上随机事件发生的概率问题，宜选用树形图法来确定事件发生的概率。3 例题甲、乙、丙三人站成一排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是_。解析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙二人相邻的情况，再利用概率公式求解即可。答案： 画树状图得：共有 6 种等可能的结果，甲、乙二人相邻有4 种情况，甲、乙二人相邻的概率是4623。点拨： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件。（答题时间：30 分钟）一、选择题1. 在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们
7、除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是（）A. 14B. 13C. 12D. 232. 要从小强、小红和小华三人中随机选两人作为旗手，则小强和小红同时入选的概率是（）A. 23B. 13C. 12D. 16*3. 一签筒内有四支签，分别标记号码1、2、3、4。已知小武以每次取一支且取后不放回的方式取两支签，若每一种结果发生的机会都相同，则这两支签的号码数总和是奇数的概率是（）A. 34B. 23C. 12D. 13*4. 已知甲袋有5 张分别标示15 的号码牌，乙袋有6 张分别标示611 的号码牌，慧婷分别从甲、乙两袋中各
8、抽出一张号码牌。若同一袋中每张号码牌被抽出的机会相等，则她抽出两张号码牌，其数字乘积为3 的倍数的概率是（）A. 110B. 13C. 715D. 815二、填空题4 5. 一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4 的概率是 _。6. 在 1，2，3，4 四个数字中随机选两个不同的数字组成两位数，则组成的两位数大于40 的概率是_。*7. 某校决定从两名男生和三名女生中选出两名同学作为兰州国际马拉松赛的志愿者，则选出一男一女的概率是_。*8. 如图所示， 小明和小龙做转陀螺游戏，他们同时分
9、别转动一个陀螺，当两个陀螺都停下来时，与桌面相接触的边上的数字都是奇数的概率是_。三、解答题*9. 一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1 到 6的点数）抛掷n次，若n次抛掷所出现的点数之和大于54n2，则算过关；否则不算过关。那么能过第二关的概率是多少？*10. 有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁。现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁。（ 1）请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能结果；（ 2）求一次打开锁的概率。*11. 把大小和形状完全相同的6 张卡片分成两组，每组3 张，分别标上数字
10、1、2、 3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张。（ 1）试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率。（ 2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由。*12. 为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场劵，甲和乙设计了如下的摸球游戏：在不透明口袋中放入编号分别为1、2、3 的三个红球及编号为4 的一个白球，四个小球除了颜色和编号不同外，其他没有任何区别，摸球之前将袋内的小球搅匀，甲先摸两次，每次摸出一个球（第一次摸后不放回），把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一次且摸出一个球，如果甲摸出的两个球都是
11、红色，甲得1 分，否则，甲得0 分，如果乙摸出的球是白色，乙得1 分，否则乙得0 分，得分高的获得入场券，如果得分相同，游戏重来。（ 1）运用列表或画树状图求甲得1 分的概率；（ 2）请你用所学的知识说明这个游戏是否公平？5 一、选择题1. A 解析：所有可能情况是：黑黑、黑白、白黑、白白。2. B 解析：所有可能情况是：小强和小红、小强和小华、小红和小华。*3. B 解析：所有可能情况是：（ 1，2） 、 （1，3） 、 （1， 4） 、 （2，1） 、 （2，3） 、 （2，4） 、 （3，1） 、（3，2） 、（ 3，4） 、 （4，1） 、 （ 4，2） 、 （4，3） ，共 12 种
12、。其和为奇数的情况有8 种，所以所求概率是81223。*4. C 解析：根据题意列表得：123456（ 1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）7（ 1，7）（2，7）（3，7）（4，7）（5，7）8（ 1，8）（2，8）（3，8）（4，8）（5，8）9（ 1，9）（2，9）（3，9）（4，9）（5，9）10（1，10）（2，10）（3，10）（4，10）（5，10）11（1，11）（2，11）（3，11）（4， 11）（5，11）所有等可能的结果为30 种，其中是3 的倍数的有14 种，则 P1430715。二、填空题5. 316解析：如图，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出
13、一个小球，共有16 种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4 的占 3 种，所以两次摸出的小球标号的和等于4 的概率316。6. 14解析：根据题意画出树状图如下：一共有 12 种情况， 组成的两位数大于40 的情况有3 种，所以 P （组成的两位数大于40）3126 14。*7. 35解：画树状图得：共有 20 种等可能的结果，选出一男一女的有12 种情况，选出一男一女的概率是：122035。*8. 14解析：列表得：（4，6）（5，6）（6，6）（ 7，6）（8，6）（9，6）（4，5）（5，5）（6，5）（ 7，5）（8，5）（9，5）（4，4）（5，4）（6，4）（ 7，4）
14、（8，4）（9，4）（4，3）（5，3）（6，3）（ 7，3）（8，3）（9，3）（4，2）（5，2）（6，2）（ 7，2）（8，2）（9，2）（4，1）（5，1）（6，1）（ 7，1）（8，1）（9，1）与桌面相接触的边上的数字都是奇数的概率是93614。三、解答题*9. 1318解析 ：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1 到 6 的点数） 抛掷n次，n次抛掷所出现的点数之和大于54n2，则算过关。要过第二关有n2，则抛掷所出现的点数之和需要大于5，列表得：7 123456123456723456783456789456789105678910 11678910 11 1
15、2第1次第 2次共有 36 种等可能的结果，能过第二关的有26 种情况，能过第二关的概率是26361318。*10. 14解析： （ 1）设两把不同的锁分别为A、B，能把两锁打开的钥匙分别为a、b，其余两把钥匙分别为m、n，根据题意，可以画出如下树形图：abmnnmbABa由上图可知，上述试验共有8种等可能结果。 （2）由（ 1）可知，任意取出一把钥匙去开任意一把锁共有8 种可能的结果， 一次打开锁的结果有2 种，且所有结果的可能性相等。P （一次打开锁）2814。*11. （1）49（2）不公平解析：（1）6 张卡片分两组，从中各随机抽取一张，各种情况画树状图如下：从树状图可见，取出的两张卡片数字之和共9 种情况，其中数字之和为奇数的只有4 种，所以取出的两张卡片数字之和为奇数的概率为P49；（ 2）由（ 1）的树状图可知，取出的两张卡片数字之和为偶数有5 种情况，从而乙胜的概率为P59，而甲胜的概率是P49，所以两者概率不相等，故这个游戏不公平。8 *12. （1）12（2）不公平解析：（1）列表得：1 2 3 4 1 1 分1 分0 分2 1 分1 分0 分3 1 分1 分0 分4 0 分0 分0 分画树状图得：P（甲得1 分）61212；（ 2）P（乙得1 分）14，P（甲得 1 分） P（乙得 1 分） ，不公平。
