高 中 物 理 竞 赛 中 的 高 等 数 学 一，微积分初步 物理学争论的是物质的运动规律，因此常常遇到的物理量大多数是变量，而要争论的正是一些变量彼此间的联 系这样，微积分这个数学工具就成为必要的了考虑到，读者在学习基础物理课时如能较早地把握一些微积分的初 步学问，对于物理学的一些基本概念和规律的深化懂得是很有好处的所以在这里先简洁地介绍一下微积分中最基本 的概念和简洁的运算方法，在叙述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并亲密地结合物理课的需要至于 更系统和更深化地把握微积分的学问和方法，可在通过高等数学课程的学习去完成 1函数及其图形 11 函数 自变量和因变量 肯定常量和任意常量 在数学中函数的功能是这样定义的：有两个相互联系的变量 x和 y，假如每当变量 x 取定了某个数值后，依据肯定 的规律就可以确定 y 的对应值，那么称 y 是 x 的函数，并记作：y=f(x)，（A1）；其中 x 叫做自变量，y 叫做因变量， f 是一个函数记号，它表示 y 和 x 数值的对应关系有时把 y=f(x)也记作 y=y(x)假如在同一个问题中遇到几个不同形 式的函数，也可以用其它字母作为函数记号，如 (x)，(x)等等 1 2 c bx ， x ， ln x ， ex 等等 常见的函数可以用公式来表达，例如 y f (x) 3 2x ， ax ， cos2 2 x 1 在函数的表达式中，除变量外，仍往往包含一些不变的量，如上面显现的 3，2， ， 2 ， e 和 a， b，c 等，它们叫 做常量；常量有两类：一类如 3，2，1 ， ， e 等，它们在一切问题中显现时数值都是确定不变的，这类常量叫做肯定 2 常量；另一类如 a，b，c 等，它们的数值需要在详细问题中详细给定，这类常量叫做任意常量在数学中常常用拉丁 字母中最前面几个（如 a，b，c）代表任意常量，最终面几个（ x，y，z）代表变量 当 y=f(x)的详细形式给定后，就可以确定与自变量的任一特定值 x0 相对应的函数值 f(x0)例如： （1）如 y=f(x)=3+2x，就当 x=-2 时 y=f(-2)=3+2 (-2)=-1一般地说，当 x=x0 时，y=f(x0)=3+2x0 c c ，就当 x x （2）如 y f (x) x 时， f ( x ) 0 0 x0 12 函数的图形 在解析几何学和物理学中常常用平面上的曲线来表示两个变量之间的函数 关系，这种方法对于直观地明白一个函数的特点是很有帮忙的作图的方法是 先在平面上取始终角坐标系，横轴代表自变量 x，纵轴代表因变量（函数值） y=f(x)这样一来，把坐标为（ x，y）且满意函数关系 y=f(x)的那些点连接起来 的轨迹就构成一条曲线，它描画出函数的面貌图 A-1 便是上面举的第一个例 子 y=f(x)=3+2x 的图形，其中 P1，P2，P3，P4，P5 各点的坐标分别为：（-2，-1）， （-1，1），（0，3），（1，5），（2，7），各点连接成一根直线图 A-2 是 c 的图形，其中 P1，P2，P3，P4，P5 各点的坐标分别为： 其次个例子 y f (x) x ( 1 ,4c) ， ( 1 ,2c) ， (1,c) ， (2, c) 2 c) 4 ， (4, ，各点连接成双曲线的一支 4 13 2 物理学中函数的实例 反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的下面举几个例子 （1）匀速直线运动公式：s=s0vt（A2） 此式表达了物体作匀速直线运动时的位置 s 随时间 t 变化的规律，在这里 t 相当于自变量 x，s 相当于因变量 是 t 的函数因此记作：s=s(t)s0vt，（A3） y，s 式中初始位置 s0 和速度 v 是任意常量，s0 与坐标原点的挑选有关， v 对于每个匀速直线运动有肯定的值，但对于 不同的匀速直线运动可以取不同的值图 A-3 是这个函数的图形，它是一根倾斜的直线易知它的斜率等于 v 1 2 v t at （2）匀变速直线运动公式： s s ，（ ）， A 4 v=v at 0 （ ）两式中 和 是因变量，它们都是自 A 5 s v 0 0 2 1 2 v t at 变量 t 的函数，因此记作： s A 6 v=v(t)=v at A 7 s(t ) s ，（ ）， 0 ，（ ） 0 0 2 图 A-4a，4b 分别是两个函数的图形，其中一个是抛物线，一个是直线（ A6）和（A7）式是匀变速直线运 动的普遍公式，式中初始位置 s0，初速 v0和加速度 a 都是任意常量，它们的数值要依据争论的问题来详细化 第 1 页，共 15 页 例如在争论自由落体问题时，如把坐标原点挑选在开头运动的地方，就 s00， v00，ag 9.M 8s2， 这时（A6） 1 2 s( t) gt 2 和（A7）式具有如下形式： s ,（A8）；vv(t)gt（A9）；这里的 g 可看作是肯定常量，式中 不再有任意常量了 （3）玻意耳定律：PVC（A10） 上式表达了肯定质量的气体，在温度不变的条件下，压强 P 和体积 V 之间的函数关系，式中的 C 是任意常量可 C ，（A11） V 以挑选 V 为自变量，P 为因变量，这样，（A10）式就可写作： P P(V ) 它的图形和图 A-2 是一样的，只不过图中的 x，y 应换成 V，P C P 在（A10）式中也可以挑选 P 为自变量，V 为因变量，这样它就应写成： V V ( P) ，（A12） 由此可见，在一个公式中自变量和因变量往往是相对的 （4）欧姆定律： U IR （A13） 当争论一段导线中的电流 这样随着外加电压 U 而转变的问题时，U 是自变量， I 是因变量，R 是常量 这时，（A13） I U R 式应写作： I I (U ) ，（A14）；即 I 与 U 成正比 应当指出，任意常量与变量之间的界限也不是肯定的例如，当争论串联电路中电压在各电阻元件上安排问题时， 由于通过各元件的电流是一样的，（ A13）式中的电流 I 成了常量，而 R 是自变量，U 是因变量 于是 UU(R)IR，（A15）即 U 与 R 成正比但是当争论并联电路中电流在各分支里的安排问题时，由于各 U R 分支两端具有共同的电压，（ A13）式中的 U 就成了常量，而 R 为自变量，I 是因变量，于是：I 即 I 与 R 成反比 I ( R) ， （A16） 总之，每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系，但是其中哪个是自变量，哪个是因变量，哪些是常量， 有时公式本身反映不出来，需要依据所要争论的问题来详细分析 2导数 21 极限 如当自变量 x 无限趋近某一数值 x0（记作 xx0）时，函数 f(x)的数值无限趋近某一确定的数值 a，就 a 叫做 x x0 lim f (x) a ， （A17） 时函数 f(x)的极限值，并记作： x x0 （A17）式中的“ lim”是英语“limit（极限）”一词的缩写，（ A17）式读作“当 值等于 a” x 趋近 x0 时，f（x）的极限 极限是微积分中的一个最基本的概念，它涉及的问题面很广这里不妄想给“极限”这个概念下一个普遍而严格 的定义，只通过一个特例来说明它的意义 2 3x x 1 2 ，（A18） ，这里除 x1 外，运算任何其它地方的函数值都是没有 考虑下面这个函数： y f ( x) x 困难的例如当 x 0 时， f (0) 2 ，当 x 2 ， f (2) 8 ，等等 0 0 但是如问 x1 时函数值 f（1）？，就会发觉，这时（ A18）式的分子和分母都等于 0，即 f (1) ！用 0 去 除以 0，一般地说是没有意义的所以表达式（ A18）没有直接给出 f（1），但给出了 x 无论如何接近 1 时的函数值 来下表列出了当 x 的值从小于 1 和大于 1 两方面趋于 1 时 f（x）值的变化情形： 表 A-1 x 与 f(x)的变化值 从上表看，x 值无论从哪边趋近 x1时 f(x)的极限值 1 时，分子分母的比值都趋于一个确定的数值 5，这便是 第 2 页，共 15 页 其实运算 f(x)值的极限无需这样麻烦，只要将（ A18）式的分子作因式分解：3x2-x-2(3x2)(x-1)，并在 x1 的 (3x 2)( x 1) x 1 情形下从分子和分母中将因式 (x1)消去： y 的数值趋于：3125 1) ；即可看出：x 趋于 1 时，函数 f(x) f ( x) 3x 2 ( x 2 3x x 2 1 所以依据函数极限的定义， 5 lim f (x) x 1 lim x 1 x 22 几个物理学中的实例 （1）瞬时速度 当一个物体作任意直线运动时，它的位置可用它到某个坐标原点 变化的，也就是说， s 是 t 的函数： ss(t) O 的距离 s 来描述在运动过程中 s 是随时间 函数 s(t)表示的是这个物体什么时刻到达什么地方形象一些说，假如物体是一列火车，就函数 s(t)就是它的一 张“旅行时刻表”但是，在实际中往往不满意于一张“时刻表”，仍需要知道物体运动快慢的程度，即速度或速率 的概念例如，当车辆驶过繁华的街道或桥梁时，为了安全，对它的速率就要有肯定的限制；一个上抛体（如高射炮 弹）能够达到怎样的高度，也与它的初始速率有关，等等 为了建立速率的概念，就要争论在一段时间间隔里物体位置的转变情形假设考虑的是从 间间隔，就这间隔的大小为： tt1-t0 tt0 到 tt1 的一段时 依据 s 和 t 的函数关系 s（t）可知，在 t0 t1t0+t 两个时刻，s 的数值分别为 s（t0）和 s（t1）s（t0+ t）， 即在 t0 到 t1 这段时间间隔里 s 转变了：ss（t1）s（t0）s（t0+t）s（t0） s 与 t 之比 s 叫做这段 t 在同样大小的时间间隔 t 里，如 s 的转变量s 小，就说明物体运动得慢， 所以就把 s(t t) s(t ) s t 0 0 时间间隔里的平均速率，用 v 来表示，就 v ，（A19） ，举例说明如下 t 1 2 1 a( t 2 2 0 t) 2 对于匀变速直线运动，依据（ A4）式有 s(t ) s v t at 和 s(t t) s v ( t t) ， 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 a(t0 2 1 1 a( 2 2 2 2 s0 v0 (t0 t) t) ( s0 v0t0 at 0 ) 2 ( v0 at0 ) t t ) ； s(t t) s(t ) 1 2 0 0 v v0 at 0 a t t t t s 反映了物体在一段时间间隔内运动的快慢，除了匀速直线运动的特殊情形外， t s 的数值或多或少与 t 平均速率 v s t s t 就越能反映出物体在 t t0 时刻运动的快慢；通常就把 0 时 的极限值叫做 t t 的大小有关； t 取得越短， s(t t ) s(t ) s t s t 0 0 物体在 tt0 时刻的瞬时速率 ，（A20） v，即 v lim lim t 0 t t 0 1 2 对于匀变速直线运动来说， v0 at0 v lim t 0 lim( v0 at0 a t) t 0 这就是熟识的匀变速直线运动的速率公式（ A5） （2）瞬时加速度 一般地说，瞬时速度或瞬时速率 v 也是 t 的函数：vv（t） 但是在很多实际问题中，只有速度和速率的概念仍不够，仍需要知道速度随时间变化的快慢，即需要建立“加速 度”的概念平均加速度 a 和瞬时加速度 a 概念的建立与 v和 v 的建立类似在直线运动中，第一取一段时间间隔 t0 到 t1，依据瞬时速率 v 和时间 t 的函数关系 v（t）可知，在 tt0 和 tt1 两时刻的瞬时速率分别为 v（t0）和 v（t1）v （t0+t），因此在 t0 到 t1 这段时间间隔里 v 转变了v=v（t0+t）-v（t0） 通常把 v 叫做这段时间间隔里的平均加速度，记作 a ； a t 举例来说，对于匀变速直线运。