在随机试验中,有些试验结果本身与数值有关(本身就是一个数). 例如，掷一颗骰子面上出现的点数；六月份广州的最高温度；每天进入地铁站的人数；昆虫的产卵数； 在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化. 随机变量2随机变量 1A =1， 如果 A 发生0， 如果 A 不发生 一般地, 对任意的随机事件 A, 都可以引进一个函数(0,1)来表示 A 是否发生: 例如，在抛硬币的试验中，我们可以如下方法将试验结果与数值联系起来，当出现正面时对应数“1”，当出现反面时对应数“0”. 这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数. . x. R() 若对于随机试验 E 的每一个可能结果，都有唯一的一个实数值() 相对应，则称实值函数() 为随机变量，简记为.u 随机变量(random variable, r.v.)的概念5例 对于 =1,2,3 ，构造事件族F =, ,1,2,3，再定义概率：P()=1, P()=0, P(1,2)=2/3,P(3)=1/3.这里(,F, P)显然是一个概率空间，但实值函数 (k) =k, 1k3 不是随机变量，例如: () 1.5 =1 F . 而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母 x, y, z, w, n等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N，或希腊字母 ,，等表示 引入随机变量的意义?以函数为工具 研究随机事件的概率规律通过将随机事件数值化转化为 研究随机变量取值的概率规律 使概率可转化为我们所熟知的函数形式 分析工具有了用武之地 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后，随机试验中的任一随机事件就可以通过随机变量的取值关系式表达出来，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件概率随机变量及其取值规律101112分布函数(1) 1314分布函数(2) 1516分布函数(3) 17分布函数(4) 1819分布函数(5)20分布函数(6)有了分布函数,关于随机变量的许多概率都能方便算出:22分布函数(7) 不少读者会混淆分布和分布函数两个不同的概念。
这里再强调一下，随机变量的分布函数仅仅是用来表示的分布的几个数学工具中的一个 以后还要介绍表示随机变量的分布的其他数学工具，例如离散型随机变量的分布列，连续型随机变量的密度函数等 请读者特别要注意区分两者的不同含义2324离散型随机变量(1) 252627离散型随机变量(2)282930313233离散型随机变量(3)34 35363738394041二点分布(1) 424344 二点分布的其他例： 赌博中输与赢 抽签的中与不中 设备的好与坏 民意测验中赞成与反对 因为可以用 X=1 来表示“赢”,“中”,“好”,“赞成”等 用 X=0 来表示“输”,“不中”,坏”,“不赞成”等 二点分布亦称为伯努利(Bernoulli)分布 结果服从二点分布的试验称为伯努利(Bernoulli)试验.伯努利(Bernoulli)概型 在许多问题中, 人们往往关心实验中某一事件A是否发生例如: 1.在产品质量抽样检测中是否抽到次品； 2.在掷硬币试验中是否出现正面； 3.在股票市场中股票是涨还是跌等并称试验出现事件A为“成功”,反之称为“失败”. 这种只有两个结果的试验为伯努利(Bernoulli)试验. 在这类问题中,我们可把事件域取为 具体地, 如果随机试验E只有两个结果: A和A,其中,P(A)=p, P(A)=q, (p+q=1,p0,q0), 则称E为伯努利试验u n重伯努利试验: n次独立重复的伯努利试验, 记作En , 其特点是： 每次试验最多出现两个可能结果； A在每次试验种出现的概率p保持不变； 各次试验相互独立； 共进行了n次试验. 伯努利试验是一种非常重要的概率模型, 它是“在同样条件下进行重复试验”的一种数学模型，特别在讨论某事件出现的频率时常用这种模型。
在历史上，伯努利概型是概率论中最早研究的模型之一，也是得到最多研究的模型之一，在理论上具有重要的意义 另一方面,它有着广泛的应用, 在我们这门课程中,一些较为深入的结果也是结合伯努利概型进行讨论的u独立重复伯努利试验中的几个重要问题：(1)n 次试验中A 恰好发生 k 次的概率是多少？(2)到第 k 次试验 A才首次发生的概率是多少？(3)一直不停试验，A最终发生的概率是多少？49二项分布(1) 5051二项分布(2) 5253二项分布(3)5455565758几何分布(2)到第 k 次试验 A才首次发生的概率是多少？59606162636465泊松分布（1） 66676869泊松分布（2） 7071727374泊松分布(7)7576超几何分布 77787980连续型随机变量的定义81828384命题: 若随机变量X的分布函数F(x)是连续函数，且除了有限个点外，F(x)的导数存在且连续1) 在F(x)的导数存在的点x上，令f(x)=F(x).(2)在F(x)的导数不存在的点x上，令f(x)为任意确定的值（如0），或者不定义f(x)的值则X是连续型的随机变量，密度为f(x) 8586878889均匀分布(1)9091均匀分布(3)92均匀分布(4) 93均匀分布(5) 94指数分布(1) 95969798指数分布(2).99100101102指数分布(3) .103104105正态分布(1) 106 107108正态分布(2)109110111112113正态分布(3)114115116117118119120121122123 124125126127128伽玛分布(1) 129伽玛分布(2)130伽玛分布(3) 131132伽玛分布(4) 。