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1、初二初二数学数学 20.1 平行四边形的判定平行四边形的判定华东师大版华东师大版【本讲教育信息本讲教育信息】一. 教学内容： 20.1 平行四边形的判定二. 重点、难点： 1. 重点：稳固平行四边形的定义、性质；熟练掌握平行四边形的判定定理； 2. 难点：运用平行四边形的性质和判定定理进行相关问题的证明三. 知识梳理：1. 平行四边形的有关概念如图平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形四边形 ABCD 是平行四边形CDABBCAD对角线：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线AC 为对角线平行四边形的表示法：四边形 ABCD 是平行四边形，记作“ABCD，读作“平行
2、四边形 ABCD注意：1表示平行四边形四个顶点的字母一定要按顺序写，不能颠倒位置；2运用定义和性质为证明线段或角相等提供了方便；3常见的辅助线是连接平行四边形的对角线，把未知问题化为三角形问题2. 平行四边形的性质如图从边看：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形两组对边分别相等在ABCD 中： ADBC ABCDADBCABCD从角看：平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补在平行四边形 ABCD 中：ABCCDA，BADBCD，ABCBAD180CDABCD180从对角线看：平行四边形的两条对角线互相平分在平行四边形 ABCD 中：OAOC，OBOD3. 平行四边形的判定方法：按边：一组对边
3、平行且相等的四边形是平行四边形如图 ADBC，ADBC四边形 ABCD 是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形如图，ADBC，ABCD四边形 ABCD 是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形如图 ADBC，ABCD四边形 ABCD 是平行四边形按角： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 如图，ABCCDA，BADBCD四边形 ABCD 是平行四边形 按对角线： 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 如图，OAOC，OBOD四边形 ABCD 是平行四边形注意：学习时要注意弄清什么时候用性质，什么时候用判定用哪一个判定条件，要根据具体问题，结合给出的条件，进行全面综合分析，
4、灵活地运用4. 探究活动：关于平行四边形的判定，除了我们学习过的以上方法外，还有什么其他方法吗？一组对边平行且有一组对角相等的四边形也是平行四边形一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形5. 平行四边形知识的应用：运用平行四边形的性质求角的度数，线段的长度，证明线段相等或倍分先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质解决某些问题【典型例题典型例题】例例 如图，四边形 ABCD 中，ABCD，ADBCBD90求证：四边形ABCD 是平行四边形分析：分析：此题主要依据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行
5、四边形；也可用两组对角分别相等的四边形是平行四边形证法证法 1：ADBCBD9O在 RtABD 与 RtCDB 中ABCD，BDBDRtABDRtCDBHLABDCDB AB/CD四边形 ABCD 是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 证法证法 2：ADBCBD9O在 RtABD 与 RtCDB 中ABCD，BDBDRtABDRtCDBHLADBC四边形 ABCD 是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形 证法证法 3：由证法 1 得 RtABDRtCDBABDCDB，ACABDCBDCDBADB即：ABCCDA四边形 ABCD 是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行
6、四边形 例例 2. 在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AD、BC 的中点，求证：四边形DEFC 是平行四边形；BEFD分析：分析：由题意不难得到 EDFC，再结合 EDFC，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形易证得四边形 DEFC 是平行四边形；从图形中观察到 BE 和 FD 是四边形 DEBF 的对边，依据第小题的方法同样可证明四边形 DEBF 是平行四边形证明：证明： 在平行四边形 ABCD 中ADBC，且 ADBC， E、F 分别是 AD、BC 的中点， ED AD，FC BC， 1212 EDFC，又EDFC， 四边形 DEFC 是平行四边形； 同理可证四边形
7、 DEBF 是平行四边形， BEDF例例 3. 如图，在平行四边形 ABCD 中AE、CF 分别是DAB、BCD 的平分线，求证：四边形 AFCE 是平行四边形分析：分析：要证明四边形 AFCE 是平行四边形，由平行四边形 ABCD 可知 CEAF因而，只要证明 AECF 或 CEAF 即可假设要证明 AECF，由 AE、CF 分别是DAB、BCD 的平分线，可得EABDABBCDDCF，因为2121DCFBFC，那么EABCFB，得 AECF假设要证明 CEAF由条件不难得ADECBF，进而可证证明：证明：方法一方法一在平行四边形 ABCD 中， CD/AB，DABBCD， AE、CF 分别
8、是DAB、BCD 的平分线 EAB DAB BCDDCF1212 DCFBFC EABCFBAECFCD/AB四边形 AECF 是平行四边形 方法二方法二在平行四边形 ABCD 中 CD/AB，ABCD，ADBC，DB，DABBCDAE、CF 分别是DAB、BCD 的平分线 EAD DAB BCDBCF1212 在ADE 与CBF 中 EADBCF ，ADBC，DBADECBFASA DEFB ABCDECAF四边形 AECF 是平行四边形例例 4. 如下图，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，点 E、F 在 AC 上，且BE/DF求证：BEDF分析：分析：可以利用BOE
9、DOF 来证明，而平行四边形 ABCD 及 BEDF 为全等创造了条件 证明证明：四边形 ABCD 是平行四边形 BODO平行四边形对角线互相平分又BEDFBEODFO两直线平行，内错角相等在BOE 与DOF 中BEODFO，BOEDOF对顶角相等 ，BODOBOEDOFA.A.S BEDF全等三角形对应边相等 【反思反思】证明边相等除了这里运用的三角形全等的方法外，还可以通过证明四边形BFDE 为平行四边形来到达要求，因此此题解法不唯一例例 5. 如图在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 在对角线 AC 上，且 AECF，求证：四边形 BEDF 是平行四边形分析：分析：根据条件 AECF，
10、可联想到定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形，只需证明四边形 BEDF 的对角线互相平分证明：证明：连结BD交AC于点O 在平行四边形 ABCD 中 AOCO，BODO 又AECFEOFO四边形 BEDF 是平行四边形例例 6. 如图，在ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点，延长 DE 至 F，使EFDE，连结 AF、CF、CD，写出图中所有的平行四边形，并予以证明分析：分析：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，易证得四边形 ADCF 是平行四边形再利用一组对边平行且相等BD 和 CF ，证明四边形 BDFC 是平行四边形解答解答：图中的平行四边形有平行四边形 ADCF，平
11、行四边形 BDFC证明如下：AEEC，DEEF四边形 ADCF 是平行四边形ADCF，且 ADCF 又ADBDBDCF又BDCF四边形 BDFC 是平行四边形例例 7. 如图在平行四边形 ABCD 中，点 E 和点 F 分别为 AD、BC 上的点且AECF，AF 与 BE 交于点 G，DF 与 CE 交于点 H，求证：四边形 EGFH 是平行四边形分析：分析：根据条件可先证四边形 AFCE 和四边形 BFDE 为平行四边形，从而得到GF/EH，GE/FH，得四边形 EGFH 是平行四边形 证明：证明：在平行四边形 ABCD 中 AD/BC，且 ADBC AECFDEBF 四边形 AECF 和四
12、边形 BFDE 都是平行四边形AF/EC，BE/FD四边形 EGFH 是平行四边形例例 8. 如图，ABC 中，AB6， AC4AD 是 BC 边上的中线，那么 AD 的取值范围是_分析：分析：此题考查平行四边形的判定及三角形的三边关系要确定 AD 的取值范围，联想用三角形三边关系，但又不能把 AD 和 AB 与 AC 放在同一三角形里，故不能直接利用三角形三边关系，由 AD 是中线，可联想到延长中线，得到平行四边形，将条件 AC 和 AB实行转化，与未知量 AD 集中到三角形中来求解解：解：延长 AD 到 E，使 DEAD，连接 BE、CE，BDCD，四边形 ABEC 是平行四边形CEAB6
13、在ACE 中，64AE64，即 2AE10又AE2AD 1AD5 答案：答案：1AD5点拨：点拨：当题中有三角形的中线时，常常延长中线，构造平行四边形，这种作辅助线的方法在解题中经常用到，要注意掌握例例 9. 如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角 A、B、C、D 处均种有一棵大核桃树田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设想？假设能，请设计并画出图形；假设不能，请说明理由画图要保存痕迹，不写画法 分析：分析：欲使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，那么点A、B、C、D应在扩建后的平行四边形的边上不
14、妨连接AC、BD，分别过点A、B、C、D作对角线的平行线，它们的交点E、F、G、H组成的平行四边形的面积即为原池塘面积的2倍解答：解答：田村能实现这一设想，见图【模拟试题模拟试题】 答题时间：40 分钟一、选择题1. 在以下图形的性质中，平行四边形不一定具有的性质是 A. 对角相等 B. 对边平行且相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分2. 要判定四边形 ABCD 是平行四边形，那么A：B：C：D 要满足 A. 1：1：2：2 B. 1：2：1：2 C. 1：2：2：1 D. 1：2：3：43. 如图，在ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，作 OEBD 于 O，交 CD 于 E，连接
15、BE，假设BCE 的周长为 6，那么平行四边形 ABCD 的周长为 A. 6 B. 12 C. 18 D. 不确定4. 四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，以下条件不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是 A. OAOCOBODB. ABDBDCCBDADBC. ABCD，OBOD，ABDBDC D. OAOBOCOD5. 如图，ABCD 中，DAB 的平分线 AE 交 CD 于 E，AB5，BC3，那么 EC 的长为 A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 36. 过平行四边形 ABCD 的钝角顶点 A，作 AEBC 于 E，AFCD 于 F，假设AE4，AF6，平行四边形 ABCD
16、的周长为 40，那么其面积为 A. 48 B. 40 C. 35 D. 30二、填空题7. 在四边形 ABCD 中，ABCD，再添一个条件_，就可以判定四边形 ABCD是平行四边形8. 用长为 80cm 的铁丝围成一个平行四边形，使平行四边形的两邻边之比为 3：2，这个平行四边形的最长边为_9. 在四边形 ABCD 中，A60，要使四边形 ABCD 成为平行四边形，那么B_，C_10. 平行四边形 ABCD 中，假设其中三边长分别为x2cm， x1cm，6cm，那么该平行四边形的周长为_11. 在一个平行四边形中，假设其一边长为 a，两条对角线的长分别为 3 和 9，那么 a 的取值范围为_三、解答题12. 如图是小明剪成的一个等腰三角形纸片 ABC，其中 ABAC，他把B 沿 EM 折叠使点 B 落在点 D 上，把C 沿 FN 折叠使点 C 也落在点 D 上，那么小明就说四边形 AEDF是平行四边形，请你帮他说明理由；小明又量出 AB9 cm，那么四边形 AEDF 的周长是多少？13. 如图，P 为等边三角形 ABC 内一点，PDABPEBCPFAC求证：PDPEPF 为定值14.
