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1、课时作业(五十六)(第二次作业)1如右图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于()A.B.C. D.答案B解析此题考查空间向量的运算设正方体的边长为2，建立如右图所示的坐标系，O(1,1,0)，E(0,2,1)，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，(1,0,2)，(1,1,1)cos，.2.以等腰RtABC的斜边BC上的高AD为折痕，将ABC折起(如图)，使折起后的ABC恰好为等边三角形M为高AD的中点，那么直线AB与CM所成角的余弦值为()A. B.C. D答案C解析设直角边A
2、BAC2，那么BC2.取BD中点N，连接MN，那么MNAB，所以NMC即为所求MNAB1，MCNC，在NCM中，由余弦定理可得cosNMC.3正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF、C1E与AB所成的角分别为、，那么等于()A120 B60C75 D90答案D解析建立如图坐标系，设正方体棱长为2.B(2,0,0)，A(2,2,0)，G(0,0,1)，F(1,1,0)，C1(0,0,2)，E(1,2,1)那么(0,2,0)，(1,1，1)，(1,2，1)cos，cos，.cos，cos，sin，90，应选D.4如下图，点P在正方
3、体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60.(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小解析如下图，以D为原点，DA为长度建立空间直角坐标系Dxyz.那么(1,0,0)，(0,0,1)连接BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设(m，m,1)(m0)，由，60，由|cos，可得2m.解得m，所以(，1)(1)因为cos，所以，45，即DP与CC所成的角为45.(2)ABCDABCD为正方体，CD平面AD.为平面AD的一个法向量，(0，1,0)又(，1)，cos，.DP与平面AADD所成角为30.5.长方体ABCDA1B1C1D1，AB2，AA11，直线B
4、D与平面AA1B1B所成的角为30，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点(1)求异面直线AE与BF所成角的余弦值；(2)求平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的余弦值解析(1)分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴建系AD平面ABB1A1，BD与平面AA1B1B夹角为30，DBA30.AEBD，E(，0)，B(2,0,0)，F(1,0,1)(，0)，(1,0,1)，cos.AE与BF所成角的余弦值为.(2)(1,0,1)，(2，0)，平面BDF法向量a(1，1)，平面AA1B法向量b(0,1,0)，cosa，b.平面BDF与平面AA1B所成二面角的余弦值为.6(石家庄质检)四棱锥ABC
5、DE的正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯形(1)假设正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BFCM，请说明理由；(2)假设平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45.求直线AD与平面ABE所成角的正弦值解析(1)由俯视图可知平面ABC平面EBCD.又BC2，O为BC中点，BE1，CD2.ABC为等边三角形，F为AC中点，BFAC.又平面ABC平面EBCD，且DCBC，DC平面ABC，DCBF.又ACCDC，BF平面ACD.BFCM.(2)以O为原点，为x轴，为z轴建系B(1,0,0)，C(1,0,0)，E(1,1,0)，D(1,2,0)设A(0,0，a), 由
6、题意可知平面ABC的法向量为(0,1,0)设平面ADE法向量n(x，y，z)(2,1,0)，(1，1，a)，令x1，y2，z.n(1，2，)|cos|，解得a.由线面角向量知识，可得sin.7(全国新课标理)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)假设PDAD，求二面角APBC的余弦值解析(1)因为DAB60，AB2AD，由余弦定理，得BDAD.从而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.所以BD平面PAD.故PABD.(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为长，射线DA为x轴的正半轴建立
7、空间直角坐标系Dxyz，那么A(1,0,0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0,0,1)(1，0)，(0，1)，(1,0,0)设平面PAB的法向量n(x，y，z)，那么即因此可取n(，1，)设平面PBC的法向量为m，那么可取m(0，1，)，那么cosm，n.故二面角APBC的余弦值为.8(浙江)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB，AD2，BC4，AA12，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点(1)证明：EFA1D1；BA1平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值解析(1)证明：因为C1B1A1D1，C1
8、B1平面ADD1A1，所以C1B1平面A1D1DA.又因为平面B1C1EF平面A1D1DAEF，所以C1B1EF，所以A1D1EF.因为BB1平面A1B1C1D1，所以BB1B1C1.又因为B1C1B1A1，所以B1C1平面ABB1A1.所以B1C1BA1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tanA1B1FtanAA1B，即A1B1FAA1B，故BA1B1F.所以BA1平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H，连接C1H.由(1)知BA1平面B1C1EF，所以BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角在矩形AA1B1B中，AB，AA12，得BH.在直角BHC1中，BC12，BH，得
9、sinBC1H.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是.9(江西)在三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA1，BC4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的长；(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值解析(1)证明：连接AO，在AOA1中，作OEAA1于点E.因为AA1BB1，得OEBB1.因为A1O平面ABC，所以A1OBC.因为ABAC，OBOC，得AOBC.所以BC平面AA1O，所以BCOE.所以OE平面BB1C1C.又AO1，AA1，得AE.(2)如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为
10、x，y，z轴，建立空间直角坐标系，那么A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0，2,0)，A1(0,0,2)由，得点E的坐标是(，0，)由(1)得平面BB1C1C的法向量(，0，)设平面A1B1C的法向量n(x，y，z)，由得令y1，得x2，z1，即n(2,1，1)所以cos，n.即平面BB1C1C与平面A1B1C的夹角的余弦值是.1(石家庄质检)如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为菱形，ABC60，EC平面ABCD，FA平面ABCD，G为BF的中点，假设EG平面ABCD.(1)求证：EG平面ABF；(2)假设AFAB，求二面角BEFD的余弦值解析(1)取AB的中点M，连接GM，MC，G
11、为BF的中点，GMFA.又EC平面ABCD，FA平面ABCD，CEAF，CEGM.平面CEGM平面ABCDCM，EG平面ABCD，EGCM.在正三角形ABC中，CMAB，又AFCM，EGAB，EGAF.EG平面ABF.(2)连接AC，BD，且交点为O.以O为原点，为x轴，为y轴建系B(，0,0)，E(0,1,1)，F(0，1,2)，D(，0,0)(0，2,1)，(，1，1)，(，1,1)设平面BEF法向量n1(x，y，z)，那么令y1，那么z2，x.n1(，1,2)同理可求平面DEF法向量n2(，1,2)设所求二面角平面角为，那么cos.2(福建)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA
12、1AD1，E为CD中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？假设存在，求AP的长；假设不存在，说明理由解析(1)以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设ABa，那么A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E(，1,0)，B1(a,0,1)故(0,1,1)，(，1，1)，(a,0,1)，(，1,0)011(1)10，B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE.此时(0，1，z0)又设平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n，n，得取x1，得平面B
13、1AE的一个法向量n(1，a)要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.(3)连接A1D，B1C，由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D.B1CA1D，AD1B1C.又由(1)知B1EAD1，且B1CB1EB1，AD1平面DCB1A1.是平面A1B1E的一个法向量，此时(0,1,1)设与n所成的角为，那么cos.二面角AB1EA1的大小为30，|cos|cos30，即，解得a2，即AB的长为2.3(浙江)如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，BAD120，且PA平面ABCD，PA2，M，N分别为PB，PD的中点(1)证明：MN平面ABCD；(2)过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值解析
