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1、高考数学复习必修1第一章、集合一、根底知识理解去记定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否那么称不属于A，记作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数，分别表示有理数集和正实数集。定义2 子
2、集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，那么A叫做B的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，那么称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，那么A叫B的真子集。便于理解：包含两个意思：A与B相等 、A是B的真子集定义3 交集，定义4 并集，定义5 补集，假设称为A在I中的补集。定义6 集合记作开区间，集合记作闭区间，R记作定义7 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。补充知识点 对集合中元素三大性质的理解1确定性集合中的元素，必须是确定的对于集合和元素，要么，要么，二者必居其一比方：“所有大于100的数
3、组成一个集合，集合中的元素是确定的而“较大的整数就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的再如，“较大的树、“较高的人等都不能构成集合2互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素如：由，组成一个集合，那么的取值不能是或13无序性集合中的元素的次序无先后之分如：由组成一个集合，也可以写成组成一个集合，它们都表示同一个集合帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题1注意与的区别是集合的一个元素，而是含有一个元素的集合，二者的关系是2注意与的区别是不含任何元素的集合，而是含有元素的集合3在用列举法表示集合时，一定不能犯用实数集或来表
4、示实数集这一类错误，因为这里“大括号已包含了“所有的意思用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义例如：集合中的元素是，这个集合表示二元方程的解集，或者理解为曲线上的点组成的点集；集合中的元素是，这个集合表示函数中自变量的取值范围；集合中的元素是，这个集合表示函数中函数值的取值范围；集合中的元素只有一个方程，它是用列举法表示的单元素集合4常见题型方法：当集合中有n个元素时，有2n个子集，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子集。二、根底例题必会例1，求正解：，解析：这道题要注意研究的元素看竖线前的元素，均是y，所以要求出两个集
5、合中y的范围再求交集，A中的y范围是求表达式的值域、因此此题是表示两个函数值域的集合例2 假设，且，试求实数正解：AB=2，5，由，解得或当a=1时，与元素的互异性矛盾，故舍去；当时，此时，这与矛盾，故又舍去；当时，此时满足题意，故为所求解析：此题紧紧抓住集合的三大性质：确定性 互异性 无序性三、趋近高考必懂1.江苏高考1设集合A=-1,1,3，B=a+2,a2+4,AB=3，那么实数a=_方法：将集合B两个表达式都等于3，且抓住集合三大性质。【答案】1.2.湖北卷2.设集合A=，B=,那么AB的子集的个数是 A. 4 B.3 C.2 方法：注意研究元素，是点的形式存在，A是椭圆，B是指数函数
6、，有数形结合方法，交于两个点，说明集合中有两个元素，还要注意，题目求子集个数，所以是22=4【答案】A集合穿针 转化引线最新一、集合与常用逻辑用语，那么是的A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析：，即或，即或， 由集合关系知：，而是的充分条件，但不是必要条件应选4.假设，那么“是“方程表示双曲线的A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析：方程表示双曲线或应选A二、集合与函数，那么等于A0，2，1，1B0，2，1，1C1，2 D解析：由代表元素可知两集合均为数集，又P集合是函数中的y的取值范围，故P集合的实质是函数的值域而Q集合那么为函数的定义域，从而易知，选D
7、评注：认识一个集合，首先要看其代表元素，再看该元素的属性，此题易因误看代表元素而错选或三、集合与方程，且，求实数p的取值范围解析：集合A是方程的解集，那么由，可得两种情况：，那么由，得；方程无正实根，因为，那么有于是综上，实数p的取值范围为四、集合与不等式7. 集合，假设，求实数m的取值范围解析：由不等式恒成立，可得，1当，即时，式可化为，显然不符合题意2当时，欲使式对任意x均成立，必需满足即解得集合B是不等式的解集，可求得，结合数轴，只要即可，解得五、集合与解析几何例6集合和，如果，求实数m的取值范围解析：从代表元素看，这两个集合均为点集，又及是两个曲线方程，故的实质为两个曲线有交点的问题，
8、我们将其译成数学语言即为：“抛物线与线段有公共点，求实数m的取值范围由，得，方程在区间0，2上至少有一个实数解首先，由，得或当m3时，由及知，方程只有负根，不符合要求；当时，由及知，方程有两个互为倒数的正根，故必有一根在区间内，从而方程至少有一个根在区间0，2内综上，所求m的取值范围是第二章、函数一、根底知识理解去记定义1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法那么f，假设对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，那么称f: AB为一个映射。定义2 函数，映射f: AB中，假设A，B都是非空数集，那么这个映射为函数。A称为它的定义域，假设xA, yB，且f(x)=y即x对应B中的
9、y，那么y叫做x的象，x叫y的原象。集合f(x)|xA叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3-1的定义域为x|x0,xR.定义3 反函数，假设函数f: AB通常记作y=f(x)是一一映射，那么它的逆映射f-1: AB叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x, y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y=的反函数是y=1-(x0).补充知识点：定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。定理2 在定义域上为增
10、减函数的函数，其反函数必为增减函数。定义4 函数的性质。1单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1, x2I并且x1 x2，总有f(x1)f(x2)，那么称f(x)在区间I上是增减函数，区间I称为单调增减区间。2奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，假设对于任意的xD，都有f(-x)=-f(x)，那么称f(x)是奇函数；假设对任意的xD，都有f(-x)=f(x)，那么称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。3周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，那么称
11、f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，那么这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。定义5 如果实数ab，那么数集x|axb, xR叫做开区间，记作a,b，集合x|axb,xR记作闭区间a,b，集合x|axb记作半开半闭区间a,b，集合x|axa记作开区间a, +，集合x|xa记作半开半闭区间-,a.定义6 函数的图象，点集(x,y)|y=f(x), xD称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b0)；1向右平移a个得到y=f(x-a)的图象；2向左平移a个得到y=f(x+a)的图象
12、；3向下平移b个得到y=f(x)-b的图象；4与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；5与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；6与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；7与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。定理3 复合函数y=fg(x)的单调性，记住四个字：“同增异减。例如y=, u=2-x在-,2上是减函数，y=在0，+上是减函数，所以y=在-,2上是增函数。注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。一、根底知识初中知识 必会1二次函数：当0时，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=-，
13、另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。2二次函数的性质：当a0时，f(x)的图象开口向上，在区间-，x0上随自变量x增大函数值减小简称递减，在x0, -上随自变量增大函数值增大简称递增。当a0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0和不等式ax2+bx+c0及ax2+bx+c0时，方程有两个不等实根，设x1,x2(x1x2)，不等式和不等式的解集分别是x|xx2和x|x1xx2，二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)还可写成f(x)=a(x-x1)(x-x2).2当=0时，方程有两个相等的实根x1=x2=x0=,不等式和不等式的解集分别是x|x和空集，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。3当0时，方程无解，不等式和不等式的解集分别是R和.f(x)图象与x轴无公共点。当a0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=,假设a0，那么当x=x0=时，f(x)取最大值f(x0)=.对于给定区间m,n上的二次函数f(x)=ax2+
