避繁就简话构图――谈数形结合的图形调控 数形结合作为重要的数学思想，有着广泛的应用，但在具体运用时要善于进行理性思考，即进行思维调整，以发挥出最好的成效．数形结合离不开构图，那么构图有哪些讲究呢？下面我们结合几个例子说明． 一、调整关系 例１ 对任意角，恒成立，那么的取值范围是_____． 解析：对此题通常是变为，整理成降幂排列式：，于是一个二次不等式便显露出来了，便可建构曲线：令，那么，这就需要分对称轴在区间的左侧、内部、右侧三种情况构图求解． 因为需要讨论三种情况，显然较繁．现在我们做如下调控：既然问题是求的取值范围，使不等式在上恒成立，于是可将不等式变为，这样可建构直曲相关的图形求解，比前一种方法简捷多了． 设，，，那么后者为过定点的直线．如图1，欲使在上恒成立，只须，即便可． 二、调整直线 例2 当时，关于的方程根的个数为_____． 解析：原方程为，即，假设直接构图，问题即为讨论直线与抛物线〔弧〕的关系．因为直线是倾斜的，当其与抛物线相切时得用判别式求的值．接下来还得按分类，确定方程根的个数． 这种数形结合方式的运算，主要是在求当直线与曲线相切时的值，须化成一元二次方程，用判别式解决，不算太简捷．如假设调整思维，联想到方程等价于，于是有另一种构图方式．其简捷之处在于直线不是倾斜的而是平行于轴． ∵，如图2，借助图形可知，当，或时，方程只有一解；当时，方程有两解；当或时，方程无解．故应填1． 三、调整主元 例3 实数满足，那么使恒成立的的取值范围为___ __． 解析：此题主元是，参数是，照惯例不等式变为：，再设，，构造直曲相关问题求参．此种方法解答起来比拟麻烦． 现在调整思维角度，视为主元，那么问题变为求的取值范围，使原不等式在上恒成立．这就非常简捷了，因为曲线已转化为直线．即由原不等式，得，图象为一条直线〔图略〕，那么欲使当时恒成立，只须由此解得，或，此即所求范围．。