（整理版）初二数学反比例函数华东师大版

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1、初二数学初二数学反比例函数反比例函数华东师大版华东师大版【同步教育信息同步教育信息】一. 本周教学内容： 反比例函数教学目标 1. 理解反比例函数的意义，会画出反比例函数的图像； 2. 能根据图像和关系式探索并理解反比例函数的性质； 3. 能用反比例函数解决某些简单的实际问题。教学重点 反比例函数图像及性质应用教学内容一、知识梳理： 1. 反比例关系的概念 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。比方，甲、乙两地的距离是 100 千米，那么汽车从甲地到乙地所用的时间 t 与行驶的速度 v 之间的

2、关系是 vt100。 2. 反比例函数的概念 1定义：一般地，如果两个变量 x，y 之间的关系可以表示成k 为常数，ykxk0的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。 2自变量 x 的取值范围是 x0，函数 y 的取值范围是 y0。 3. 反比例函数的几种等价形式 y 是 x 的反比例函数变量ykxkykxkxyk k()()()0001y 与 x 成反比例比例系数为 k。 4. 反比例关系解析式确实定 由于反比例函数的解析式中只有一个待定系数 k，确定了 k 的值，也就确定了ykx反比例函数，因而一般只需给出一组 x，y 的对应值，然后代入中即可求出 k 的值。ykx从而可确定反比例函数的

3、解析式。 5. “反比例关系与“反比例函数的区别与联系 xykk 为常数，且 k0，那么 x 与 y 这两个量成反比例关系。这里的 x，y 既可代表单独的字母，也可表示其他代数式。比方 y3 与 x11 成反比例，那么，但不能说是反比例函数。又如，y 与 x2成反比例，那么，但同样ykx311ykx2不能说 y 是 x 的反比例函数。成反比例的关系式，不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系。 6. 反比例函数图像的画法 反比例函数的画法与一次函数类似，步骤为列表、描点、连线。 列表时，因为反比例函数的自变量的取值范围是 x0，故在画反比例函数的图像时，为了使描出的点具有代

4、表性，x 应该取一局部正数，取一局部负数，一般是正数、负数各取一半，并且互为相反数。这样既可简化运算，又便于描点。 描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线。连线时，所连的线必须是“光滑的曲线。比方，画反比例函数的图像。yx6 列表：x654321123456yx612366321 描点，连线： 7. 反比例函数的性质： 反比例函数：ykxkykxxyk() ()或，01 图像：双曲线 性质：1k0 时， 函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。 2k0 时 函数图像的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。【典型例

5、题典型例题】 例 1. 反比例函数，当时，y 随 x 的增大而增大，求函数关系式。yaxa()226x 0 分析：分析：根据反比例函数的定义性质来解此题。 解：解：是反比例函数，yaxa()226 aa26120 ， 当时，即在第一或第四象限内，y 随 x 的增大而增大；x 0 所以aaaaaa 2061205252， 即当时，y 随 x 的增大而增大。a 5 方法点拨：方法点拨：函数是反比例函数，那么是反比例函ykxmmkykxm 10， ；若数，那么。mk 10， 例 2. 反比例函数在第一象限内的图像如下图，P 为该图像上任意一点，ykxk()0PQ 垂直于 x 轴，垂足为 Q。设POQ

6、 的面积为 S，那么 S 的值与 k 的值是否存在关系？假设有关系，请写出 S 与 k 之间的关系式；假设没有关系，请说明理由。 分析：分析：因为，假设设 P 点坐标为 Px，y，那么SOQPQPOQ12，又因为 P 点在第一象限，所以，因此可以得到OQxPQy| | |，xy00，xy，而由可以得到 xyk，于是可以确定 S 与 k 的关系式。SPOQ12ykx 解：解：S 与 k 之间的关系式为Sk12 设 P 点的坐标为 Px，y，那么 OQxPQy| | |， 点 P 在第一象限内，xy00， OQx，PQy SOQPQxyPOQ1212 又xykSkPOQ，12 例 3. 如图，过原

7、点 O 作一直线与双曲线交于 P、Q，过 P、Q 分别做 x 轴，y 轴yx5的垂线，交于 B 点，求三角形 PQB 的面积。 分析：分析：点 P 在双曲线上，那么 P 点坐标适合函数，P、Q 关于原点 O 对称，所yx5以 OPOQ，且 OA 是PBQ 的中位线。 解：解：设 P 点坐标为a，b，那么ba5 abOAAP55，即： 又P、Q 关于原点 O 对称 OPOQ 又BQx 轴，所以 OA 是BPQ 的中位线 BQ2OA2a，同理可求 PB2b SPBBQababPBQ121222210 例 4. 反比例函数与一次函数的图像都经过点2，1，且在ymxykxbx3 时两函数值相等，求这两

8、个函数的解析式。 分析：分析：确定反比例函数解析式，只需知道一个点坐标，而确定一次函数解析式，那么需两点坐标。 解：解：由题意知点2，1在反比例函数图像上ymx 那么m ()()212 所以反比例函数解析式为yx2 又因为在 x3 时，函数值为yx223 根据 x3 时，两函数值相等 可知 x3 时，满足一次函数y 23ykxb 并且点2，1在一次函数图像上ykxb 那么23312 kbkb 解得：kb 1313 所以，一次函数解析式为yx1313 例 5. 海南如下图，反比例函数的图像与一次函数的图像相交yx12ykx 4于 P、Q 两点，并且 P 点的纵坐标是 6。 1求这个一次函数的解析

9、式； 2求POQ 的面积 分析：分析：由条件 P 点的纵坐标是 6，而点 P 在反比例函数上，可以求得 P 点的横yx12坐标为 x2，即 P 点坐标为2，6。 又 P 点也在一次函数上，把点2，6代入即可求出一次函数的解析式。ykx 4POQ 的面积可以分成PON 与QON 两局部，这两局部的面积能通过 P、Q 两点的坐标得到。 解：解：1点 P 在反比例函数的图像上，且其纵坐标为 6，yx12 126x 解得x 2 P2，6 又点 P 在函数的图像上，ykx 4 624k 解得 k1 所求一次函数的解析式为 yx4 2解方程组yxyxxyxy 41262261122，得， 点 Q 的坐标为

10、6，2 令，代入，解得y 0yx 4x 4 函数的图像与 x 轴的交点是 N4，0yx4 PON 和QON 的公共边 ON4，ON 边上的高分别为 PA6，QB2， SSSPOQPONQON 1246124216 技巧点拨：技巧点拨：此题涉及一次函数及反比例函数的图像。识别图形的形状位置及交点是挖掘此类题目隐含条件的关键。 例 6. 如下图，一次函数 ykxb 的图像与反比例函数的图像交于 A、B 两点。ymx 1利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； 2根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围。 分析：分析：要求反比例解析式，须知它图像上一点的坐标即可。而要求一

11、次函数的图像，须知道一次函数图像上的两点即可。点 A、B 在一次函数图像上，点 B 点 A 又都在反比例图像上，故可先求出 m、n 的值，得 A、B 点坐标。 由图像可看出，在第二象限内，当时，一次函数的图像在反比例函数上方，即x 2一次函数的值大于反比例函数的值。当时，一次函数的值小于反比例函数的值。 20 x同理可讨论第四象限内的情况。 解：解：1由图像可知，点 A 在反比例函数的图像上。 把Aymxmm() 21122， 代入，得， 反比例函数的解析式为。yx 2 又点 B1，n在反比例函数的图像上， 把点 B1，n代入yxn 22，得 点 B 的坐标为1，2 把点 A2，1，B1，2代

12、入一次函数，得ykxb 21211kbkbkb， 一次函数的解析式为。yx 1 2根据图像可知，当一次函数的图像在反比例函数的图像上方时，一次函数的值大于反比例函数的值。 当时，一次函数的值大于反比例函数的值。xx 201或 发散点：发散点：函数解析式与图像的应用是中考考查的重点内容，利用图像解答问题是考查分析问题、观察问题的能力的有效题型，而采用数形结合是解答此类问题的关键。 例 7. 选择题 假设 ab0，那么函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是图中yaxybx与的 分析：分析：A. b0，a0；B. a0，b0；C. 排除；D. a0，b0 选 B 如下图，在同一坐标系中，正比例函数与

13、反比例函数的图像ymx() 1ymx4的大体位置不可能是 分析：分析：观察图像。ymx4 A、B 中 m0 而m1不明确是大于 0 还是小于 0 排除 A、B C、D 中，m0，那么 m10，选 C。 函数在同一坐标系中的图像大致是 yk xkkykxk1112200()()与A B C D 分析：分析：由知应在 C、D 中选，k20 又k10 应选 D 例 8. 成正比例，y2与 x 成反比例，假设时，yyyyx321212，且 与x 1y1；x2 时，y2。求当 x3 时 y 的值。 分析：分析：因为成正比例，y2与 x 成反比例，可设，所以yx12与yk xykx11222，然后将 x

14、与 y 的对应值代入即可求得 k1，k2的值，从而得 y 与 x 的函yk xkx32122数表达式。利用所求的函数表达式进而可求出当 x3 时对应的 y 值。 解：解：设，yk xykx11222， ，yyyyk xkx323212122 分别将 x，y 的对应值代入函数式中得： 1322121212kkkk 解这个方程组得：kk121727 函数 y 与 x 的关系式为：yxx37472 当 x3 时，y 37347385212 说明：说明：1用待定系数法求函数关系式是常用的重要方法，一定要掌握好；2此题 y1与 x2之间的正比例系数和 y2与 x 之间的反比例系数不一定相等，应分别设为k

15、1，k2，假设只用一个比例系数 k，把函数关系式设为，那是错误的，这一ykxkx322点要特别引起注意。 例 9. 北京市西城区：反比例函数和一次函数 ymxn 的图像的一个交点为ykxA3，4，且一次函数的图像与 x 轴的交点到原点的距离为 5，分别确定反比例函数与一次函数的解析式。 分析：分析：理解一次函数的图像与 x 轴交点到原点的距离为 5，可知此点坐标为5，0或5，0，又因为反比例函数与一次函数相交，可判断 A 点坐标确ykxymxn实切值。 解：解：由的图像过3，4ykx 得4312 kk， 所以yx 12 又43051252 mnmnmn，解得 所以一次函数解析式为yx 1252

16、 例 10. 一次函数的图像经过点 A0，1和点 Ba，3a，a0，且点 Bykxb在反比例函数的图像上。yx 3 1求 a 的值； 2求一次函数的解析式； 3利用函数的图像，求当这个一次函数 y 的值在范围内，相应的 x 值的 13y取值范围； 4如果是这个一次函数图像上的两点，试比拟P myQ my()()，121的大小。yy12与 解：解：1因为点 Ba，3a在上，那么a1。yx 3 3312aaa， 又 a0，所以 a1； 2因为直线 ykxb 过点0，1和1，3 所以bkbkb 1321解得 故 y2x1； 3因为 y2x1 是减函数，当 y1 时，x1，当 y3 时，x1 所以相应的 x 值为 ；11 x 4因为。mmyy112，所以 例 11. 四川省如下图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于ykxbyx 8A、B 两点，且点 A 的横坐标和点 B 的纵坐标都是2。 求：1一次函数的解析式； 2AOB 的面积。 解：解：1因为 A 点横坐标为2，那么纵坐标为 4，B 点纵坐标为2，那么横坐标为4。 所以 A2，4，B4，2 由422412 kbkbkb，解得 故一次函数