学习直线投影的基本知识本章学习目标,（1）直线的投影及分类 （2）两直线的相对位置 （3）直线的辅助投影,本章学习内容,5.直线的投影,直线的投影特性,5.1,两直线的相对位置,5.2,直线的辅助投影,5.3,直线的投影一般仍为直线直线由两点确定，其投影由直线上任意两点的同面投影连线来确定直线相对于投影面的位置有三种情况,垂直于投影面； 投影积聚为一点； 投影面垂直线,直线平行于投影面； 投影反映线段实长； 投影面平行线,直线倾斜于投影面； 投影比空间线段短； 一般位置直线,水平投影a(b)积聚成一点； 正面投影abOX，侧面投影a”b” OYW，ab= a”b”=AB1.投影面垂直线铅垂线,垂直于H面，平行于V、W面,实长,实长,积聚,5.1 直线的投影特性,正面投影a(b)积聚成一点； 水平投影abOX，侧面投影a”b” OZ，ab= a”b”=AB1.投影面垂直线正垂线,垂直于V面，平行于H、W面,积聚,实长,直线AB垂直于哪个投影面?,实长,侧面投影a”(b”)积聚成一点； 水平投影abOYH，正面投影ab OZ，ab= ab=AB1.投影面垂直线侧垂线,垂直于W面，平行于H、V面,积聚,实长,直线AB垂直于哪个投影面?,实长,投影面垂直线的投影特性,2.投影面平行线水平线,水平投影ab=AB； 正面投影ab OX，侧面投影a”b” OYW，都不反映实长； ab与OX夹角反映实际大小，ab与OYH夹角反映实际大小。
实长,平行于H面，对V、W面倾斜,2.投影面平行线正平线,正面投影ab=AB； 水平投影ab OX，侧面投影a”b” OZ，都不反映实长； ab与OX夹角反映实际大小，ab与OZ夹角反映实际大小实长,平行于V面，对H、W面倾斜,2.投影面平行线侧平线,平行于W面，对H、V面倾斜,侧面投影a”b”=AB； 水平投影ab OYH，正面投影ab OZ，都不反映实长； a”b”与OYW夹角反映实际大小，a”b”与OZ夹角反映实际大小实长,直线AB与哪个投影面平行？,投影面平行线的投影特性,3.一般位置直线,为直线对H面的倾角，且ab=Abcos；,为直线对V面的倾角，且ab=Abcos；,为直线对W面的倾角，且a”b”=Abcos一般位置直线对三个投影面都倾斜,过点A作AB0 ab，则ABB0为直角三角形；,AB0=ab，,BB0=ZbZa，即A、B两点Z坐标之差AB实长,与H面夹角,3.一般位置直线直角三角形法,思考：如何求直线与正面夹角及与侧面夹角的实大；,例5-1 已知直线AB的水平投影及直线对H 面的倾角 =30，点A的正面投影a，求AB的正面投影和实长1) 在水平投影上，过点b作ab的垂线；,AB的实长,(2) 以 =30作直角三角形abB0 ；,(3) 根据bB0和点的投影规律可求得b1b2，连接ab1， a b2即得直线AB的正面投影。
思考： 1.在上例中如何求线段AB与正面的倾角？ 2.在上例中求线段AB与水平面倾角的作图方法唯一吗？ 3. 试构造一个形体，使形体上分别有三种投影面平行线、三种投影面垂直线和一般位置直线，试画出形体的轴测图提示,点在直线上，则点的投影必在直线的同面投影上4. 直线上的点,（1）属于直线上的点,反之，若点的投影在直线的同面投影上，则点必在直线上；,根据点在直线上这一属性就可以判断点是否在直线上点C在直线AB上,点C、 D不在直线AB上,点分直线定比定理,直线上的点分直线为定比，其点的投影分直线的投影为空间相同的比例BC：CA,= bc：ca,= bc：ca,（2）点分直线成定比,例5-2：已知点K段AB上，求点K正面投影解法一： （应用第三投影）,解法二： （应用定比定理）,a,b,思考： 1.如果在直线AB上取一点C，使AC: CB1:2，点C的投影如何求？,2.如果点k属于ab，k” 属于a”b” ，点k是否就一定在直线AB上？,5.2 两直线的相对位置,两直线的相对位置有三种情况：平行、相交、交叉当两直线平行则两直线同面投影均相互平行；,反之，若两直线同面投影平行，则该两直线平行。
直线ABCD,1.平行两直线,试判断图中CD与 AB是否平行？,但侧面投影a”b” 与c”d ”相交AB 与 CD不平行,作出第三面投影来判断虽然abcd，并且abcd，,思考：1） 在上例中，是否还可以采用其他方法来判别两直线是否平行？ 2） 什么情况下，两直线有两个投影平行，即可判断其第三个投影也互相平行？,若两直线相交，两直线的同面投影也相交，,且交点符合点的投影规律交点连线kkOX轴,2.相交两直线,空间两直线既不平行也不相交，称该两直线为交叉两直线，,交叉两直线的同面投影可能相交，,但其交点并不是空间交点的投影，而是重影点3.交叉两直线,直线AB和CD是否相交?,“交点”不符合点的投影规律，两直线不相交思考：如果两直线的三个投影都相交，是否空间也一定相交？,例5-3 判断图中两条直线是否平行对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行AB与CD平行AB与CD不平行对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行例5-4：给出三棱锥的H、V面投影，试判断两条交叉直线BC和AD的可见性1点在上，2点在下,3点在前，4点在后,4. 两直线的夹角,两直线的夹角，其投影有下面三种情况： (1) 当两直线都平行于某投影面时，其夹角在该投影面上的投影反映实形。
(2) 当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投影面上的投影一般不反映实形 (3) 当两直线中有一直线平行于某投影面（另一边不垂直于该投影面）时，如果夹角是直角，则它在该投影面上的投影仍然是直角直角投影定理,互相垂直的两直线，,如果其中一条线平行于某一投影面时，,两直线在该投影面上的投影也相互垂直ABBC,DEEF,BCH面且abbc,DEV面且deef,例5-5 已知直线AB为正平线，且直线AC垂直于直线AB，求作直线AC的两面投影1) 作abac；,(2) 由c作OX轴的垂线；,(3) 连接ac此题有多少个解？,无数解,例5-6 求点A到直线BC的距离1) 由点a作bc的垂线ad，交bc于点d ；,(2) 由点d作OX轴的垂线，交b c于点 d；连接ad；,(3) 运用直角三角形法，求出AD的实长距离,分析题图可知，BC为水平线,5.3 直线的辅助投影,一般位置直线的实长及其对投影面的倾角除采用直角三角形法外，还可以采用辅助投影法实长,直线对H面的倾角,1、直线的一次变换,（1）一般位置直线可以变为投影面的平行线,（2）投影面平行线可以变为新投影面的垂直线,正平线,变换哪一个投影面？,将一般位置直线变为投影面的垂直线，需经过两次换面,2、一般位置直线的两次变换,例5-7 已知点M到直线AB的距离为15和点M的水平投影m，求点M的正面投影。
1) 直线AB经一次换面变成投影面平行线a1b1,解题步骤：,(2) 直线AB经第二次换面变成投影面垂直线(a2)b2,(3) 根据已知条件求出m,b,例5-8 求两直线AB与CD的公垂线 a,c,d,a,b,c,d,X,V H,例5-9 求平面ABC与平面ABD夹角的实际大小两三角形有一公共边AB，只要把直线AB变换为投影面的垂直线即可得夹角的实际大小,两次换面，第一次变换使直线AB为投影面平行线，第二次变换使直线AB为投影面垂直线,两平面的夹角,返回,。