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1、第三章 导数及其应用,选修1-1,洪泽外国语中学 程怀宏,1.什么叫做函数的平均变化率？,2. 平均变化率的几何意义是什么？,平均变化率的几何意义就是两点间的斜率。,一、基本知识,一般地,函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为：,以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。,物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.,（即t=t0时位移相对时间的瞬时变化率）,3.什么叫做瞬时速度？,以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过 取极限，,从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速 度的精确值。,物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度.,（即t=t0时速度相对时间的瞬时变化率
2、）,其实函数在某一点处的瞬时变化率-导数。,4.什么叫做瞬时加速度？,5.什么叫做导数？,由定义求导数（三步法）,步骤:,导数简单的说就是：函数的平均变化率的极限，即,6. 导数的几何意义是什么？,答：函数的图象在某点处的切线的斜率。,7. 你还记不记得基本初等函数的导数公式呢？,基本初等函数的导数公式：,法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：,法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：,推论：若C为常数，,法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的
3、平方,即：,8. 导数的运算法则呢？,复合函数函数y=f(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为,9.复合函数求导法则呢？,1)如果在某区间上f(x)0，那么f（x）为该区间上的增函数，,2)如果在某区间上f(x)0，那么f（x）为该区间上的减函数。,一般地， 设函数yf（x），,注意:如果在某个区间内恒有f(x)=0, 则f(x)为常数函数。,10. 如何用导数研究函数的单调性呢？,11. 利用导数求函数的极值,函数极值的两个必要条件是？,（1）函数在x0处的导数为零，即f (x0)=0;,（2）函数在x0附近两侧的导数异号。,那么函数什么时候有极大值，什么时候有极小值呢
4、？,如果在x0附近的左侧 f/（x）0 ,右侧f/(x)0 ,那么,f(x0) 是极小值.,导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 两侧的导数异号时取到.,判别函数f(x)在f(x0)是极大(小)值的方法是:,求可导函数f(x)极值的 步骤：,(2)求导数f (x)；,(3)求方程f (x）=0的根；,(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格,检查f (x)在方程根左右的符号 如果左正右负（+ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值；,如果左负右正（- +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；,(1) 确定函数的定义域；,12. 利用
5、导数求函数的最值,一般地，求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤是？,:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);,:将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,1.2 （2005北京卷）过原点作曲线ye x的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ,1. 利用导数求切线方程,二、导数在研究函数方面的应用,例1.1: 已知曲线 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.,即点P处的切线的斜率等于4.,(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,(1,
6、 e),e,1. 利用导数求切线方程,二、导数在研究函数方面的应用,求过点P（2，0）且与曲线 相切的直线的方程。,例1.3,2. 利用导数判断、证明函数的单调性？,例2 确定函数f(x)=2x36x2+7的单调区间,解：f(x)=(2x36x2+7)=6x212x,令6x212x0，解得x2或x0,f(x)的单调递增区间是(，0)，（2，+)；,f(x)的单调递减区间是（0，2)。,令6x212x0，解得0 x2.,说明:当函数的单调增区间或减区间有多个时，单调区间之间不能用 连接，只能分开写，或者可用“,”“和”连接。,例3:求函数y=x4-2x2+5的极大值与极小值.,解:,令 ,解得x
7、=-1,0,1.,随着x的变化, 的变化情况如下表:,从上表可知,当x0时，函数有极大值为5,当x1时，函数有极小值为4.,(1)令f (x)0，得11；,(2)令f (x)0，得x -1 ,或0 x1.,注意：期末考试中求极值的问题一定要列表，不列表要扣分！,例4:求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小值.,解:,令 ,解得x=-1,0,1.,在区间-2,2上,当x变化时, 的变化情况如下表:,从上表可知,当x2时，函数有最大值为13,当x1时，函数有最小值为4.,(1)当f (x)0，即x2，或x-2时；,(2)当f (x)0，即-2x2时.,温馨提示：如果平时自己的计算
8、不是很准确的话可以分开在表格中先不填数据只填极大值，极小值，在后面在分开计算，可以分步得分！,三、导数在解决生活中的问题的应用 解应用题,1. 利用导数求瞬时速度,例1:物体作自由落体运动,运动方程为： 其中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.则 物体在t=2 s时的瞬时速度为 .,2. 利用导数求最值,1.,2.,Key:(0,1),3.,综合题型,4（2005福建卷）已知函数,的图象过点P(0，2),且在点M(1,f（1）)处的切线方程为 .,（）求函数,（）求函数,的单调区间.,的解析式；,5. （2005北京卷）已知函数 f(x)=x 33x 29xa, （I）求f(x)的单调递减区间； （II）若f(x)在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值,Key：（，1），（3，）,Key：最小值为7,
