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1、- -极坐标与参数方程【考纲知识梳理】一、极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取一样的长度单位,如图(2)所示:(2)互化公式:设M是坐标平面任意一点,它的直角坐标是,极坐标是,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标极坐标互化公式在一般情况下,由确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.二、参数方程3圆的参数设M，那么。圆的普通方程是，它的参数方程为：。4椭圆的参数方程，其中参数称为离心角；5双曲线的参数方程，其中。6抛物线的参数方程抛物线的参数方程为7直线的参数方程经过点，倾斜角为的直线的普通方程是而过，倾斜角为的直
2、线的参数方程为：。注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点，倾斜角为的直线的参数方程为，其中表示直线上以定点为起点，任一点为终点的有向线段的数量，当点在上方时，0；当点在下方时，0；当点与重合时，=0。我们也可以把参数理解为以为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度一样。 由此，易得参数t具有如下 的性质：假设直线上两点A、B所对应的参数分别为，那么性质一：A、B两点之间的距离为，特别地，A、B两点到的距离分别为性质二：A、B两点的中点所对应的参数为，假设是线段AB的中点，那么，反之亦然。直线的参数方程的几何意义应用一、求直线上点的坐标例1一个小虫
3、从P1，2出发，它在 x轴方向的分速度是3，在y轴方向的分速度是4，问小虫3s后的位置Q。分析：考虑t的实际意义，可用直线的参数方程(t是参数)。解：由题意知那么直线PQ的方程是，其中时间t 是参数，将t=3s代入得Q8，12。例2求点A1，2关于直线l：2x 3y +1 =0的对称点A的坐标。解：由条件，设直线AA的参数方程为 (t是参数)，A到直线l的距离d = ， t =AA= ，代入直线的参数方程得A(，)。点评：求点关于直线的对称点的根本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处那么是充分利用了参数t的几何意义。二 求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离例1.设直线经过点(1
4、,5),倾斜角为,1)求直线和直线的交点到点的距离;2)求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积.解:直线的参数方程为( t为参数)1)将直线的参数方程中的x,y代入,得t=.所以,直线和直线的交点到点的距离为2)将直线的方程中的x,y代入,得设此方程的两根为,那么=10.可知均为负值,所以=点评：解决此题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。三 求直线与曲线相交的弦长例1 过抛物线的焦点作斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，求|AB|.解 因直线的倾角为，那么斜率为1，又抛物线的焦点为F(1，0)，那么可设AB的方程为 (为参数)代入整理得由韦达定理得t1t2=，
5、t1t2=16。=.例2直线L:x+y-1=0与抛物线y=交于A,B两点,求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.解:因为直线L过定点M,且L的倾斜角为,所以它的参数方程是(t为参数)即 (t为参数)把它代入抛物线的方程,得解得由参数t的几何意义得，点评:此题的解答中,为了将普通方程化为参数方程,先判定点M(-1,2)在直线上,并求出直线的倾斜角,这样才能用参数t的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标,再用距离公式求交点距离简便一些.四、求解中点问题例1,经过点P(2,0),斜率为的直线和抛物线相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,求点M的坐标.解:设过点
6、P(2,0)的直线AB的倾斜角为,由可得:cos,所以,直线的参数方程为(t为参数)代入,整理得中点M的相应的参数是=，所以点M的坐标为点评:在直线的参数方程中,当t0,那么的方向向上;当t0,那么的方向向下,所以A,B中点的M所对应的t的值等于,这与二点之点的中点坐标有点一样.例2双曲线 ，过点P2，1的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1 +t2=0。解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，那么直线P1P2的方程是(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2 sin2) t2 +2(2x0cos y0sin)
7、t +(2x02 y02 2) = 0，由题意t1+t2=0，即2x0cos y0sin =0，得。又直线P1P2的斜率 ，点P2，1在直线P1P2上，即2x2 y2 4x +y = 0为所求的轨迹的方程。五,求点的轨迹问题例1双曲线，过点P2，1的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1 +t2=0。解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，那么直线P1P2的方程是(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2 sin2) t2 +2(2x0cos y0sin)t + (2x02 y02 2) = 0，由题意t1 +t
8、2=0，即2x0cos y0sin =0，得。又直线P1P2的斜率，点P2，1在直线P1P2上，即2x2y24x +y = 0为所求的轨迹的方程。六、求定点到动点的距离例1直线l过点P(1，2)，其参数方程为(t是参数)，直线l与直线 2x +y 2 =0 交于点Q，求PQ。解：将直线l的方程化为标准形式，代入 2x +y 2 =0得 t = ， PQ = | t| = 。点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。例2经过点P(1，2)，倾斜角为 的直线 l与圆 x2 +y2 = 9相交于A，B两点，求PA +PB和PAPB的值。解：直线l
9、的方程可写成，代入圆的方程整理得：t2 +t4=0，设点A，B对应的参数分别是t1 ，t2，那么t1 +t2 = ，t1 t2 = 4，由t1 与t2的符号相反知PA +PB = |t1|+|t2| = | t1 t2| = = 3，PAPB =| t1 t2 | = 4。点评：解决此题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。七、求直线与曲线相交弦的长例1抛物线y2 = 2px，过焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求证：。分析：弦长AB = |t1 t2|。解：由条件可设AB的方程为(t是参数)，代入抛物线方程，得 t2sin2 2ptcos p2 = 0
10、，由韦达定理：， AB = |t1 t2| = = = 。例2椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60的直线交椭圆于A，B两点，假设FA =2FB，求那么椭圆的离心率。分析：FA =2FB转化成直线参数方程中的 t1= 2t2或|t1| =2|t2|。解：设椭圆方程为 ，左焦点F1c，0，直线AB的方程为，代入椭圆整理可得：(b2 +a2)t2 b2ct b4 = 0，由于t1= 2t2，那么，22+得：，将b2 =a2 c2代入，8 c2 = 3 a2 + a2 c2，得 ，故e = 。在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用 t 的几
11、何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量 t 来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，表达了等价转化和数形结合的数学思想。1在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以一样的长度单位建立极坐标系直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为1设为参数，假设，求直线的参数方程；2直线与曲线交于，设，且，数的值2以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为方程为，直线的参数方程为为参数I点在曲线上，且曲线在点处的切线与直线垂直，求点的直角坐标和曲线C的参数方程；II设直线与曲线有两个不同的交点，求直线的斜
12、率的取值围3在直角坐标系中，直线的参数方程为,为参数，在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.()直接写出直线、曲线的直角坐标方程；()设曲线上的点到与直线的距离为，求的取值围.4极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合假设曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数1求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；2设点，直线与曲线交于两点，求的值5在直角坐标系中，圆的参数方程为参数以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系1求曲线的极坐标方程；2设直线极坐标方程是射线与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长6在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴
13、为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为 为参数，直线与曲线相交于两点写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；假设，求的值7在平面直角坐标系中，曲线为参数，过点且斜率为的直线与曲线相交于不同的两点求的取值围；设，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由8曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是t为参数1求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；2设点，假设直线l与曲线C交于A，B两点，且，数m的值- - word.zl- -参考答案11将，代入直线的极坐标方程得直角坐标方程1分再将，代入直线的直角坐标方程，得，所以直线的参数方程为为参数 4分2由，得，由代入，得 6分将直线的参数方程与的
