世纪文都训练科技集团股份有限公司2021 考研数学一大纲原文（PDF 版）来源：文都训练高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、 周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四就运算极限存在的两个准就：单调有界准就和夹逼准就两个重要极限：lim sin xx1,lim11ex 0 x x 1函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质考试要求1. 懂得函数的概念，把握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2. 明白函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3. 懂得复合函数及分段函数的概念，明白反函数及隐函数的概念．4. 把握基本初等函数的性质及其图形，明白初等函数的概念．5. 懂得极限的概念，懂得函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6. 把握极限的性质及四就运算法就．7. 把握极限存在的两个准就，并会利用它们求极限，把握利用两个重要极限求极限的方法．8. 懂得无穷小量、无穷大量的概念，把握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9. 懂得函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10. 明白连续函数的性质和初等函数的连续性， 懂得闭区间上连续函数的性质 （有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．1世纪文都训练科技集团股份有限公司二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四就运算 基本初等函数的导数复合函数、 反函数、 隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达 (L ’Hospital法) 就 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、 拐点及渐近线 函数图形的描画函数的最大值与最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径考试要求1. 懂得导数和微分的概念，懂得导数与微分的关系，懂得导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程， 明白导数的物理意义， 会用导数描述一些物理量， 懂得函数的可导性与连续性之间的关系 .2. 把握导数的四就运算法就和复合函数的求导法就， 把握基本初等函数的导数公式 .明白微分的四就运算法就和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分 .3. 明白高阶导数的概念，会求简洁函数的高阶导数 .4. 会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数 . 5.懂得并会用罗尔 (Rolle) 定理、拉格朗日 (Lagrange) 中值定理和泰勒 (Taylor) 定理，明白并会用柯西 (Cauchy)中值定理 .6. 把握用洛必达法就求未定式极限的方法 .7. 懂得函数的极值概念，把握用导数判定函数的单调性和求函数极值的方法，把握函数最大值和最小值的求法及其应用 .108. 会用导数判定函数图形的凹凸性 (注：在区间a,b内，设函数f x 具有二阶导数 .当f x 0 时， f x的图形是凹的 ;当 f x0 时， fx 的图形是凸的 )，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描画函数的图形 .9. 明白曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会运算曲率和曲率半径 .三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿 -莱布尼茨 (Newton-Leibniz) 公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简洁无理函数的积分反常(广义)积分定积分的应用考试要求1. 懂得原函数的概念，懂得不定积分和定积分的概念 .2. 把握不定积分的基本公式，把握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，把握换元积分法与分部积分法 .3. 会求有理函数、三角函数有理式和简洁无理函数的积分 .4. 懂得积分上限的函数，会求它的导数，把握牛顿 -莱布尼茨公式 .5. 明白反常积分的概念，会运算反常积分 .6. 把握用定积分表达和运算一些几何量与物理量 (平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、 平行截面面积为已知的立体体积、 功、引力、 压力、 质心、 形心等 )及函数的平均值 .四、向量代数和空间解析几何考试内容向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积向量的混合积两向量垂直、 平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程直线方程平面与平面、 平面与直线、 直线与直线的夹角以及平行、 垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面柱面旋转曲面常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程考试要求1. 懂得空间直角坐标系，懂得向量的概念及其表示 .2. 把握向量的运算 ( 线性运算、数量积、向量积、混合积 )，明白两个向量垂直、平行的条件 .3. 懂得单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，把握用坐标表达式进行向量运算的方法 .4. 把握平面方程和直线方程及其求法 .5. 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系 (平行、垂直、相交等 )) 解决有关问题 .6. 会求点到直线以及点到平面的距离 .7. 明白曲面方程和空间曲线方程的概念 .8. 明白常用二次曲面的方程及其图形，会求简洁的柱面和旋转曲面的方程 .9. 明白空间曲线的参数方程和一般方程 .明白空间曲线在坐标平面上的投影， 并会求该投影曲线的方程 .五、多元函数微分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件多元复合函数、 隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简洁应用考试要求1. 懂得多元函数的概念，懂得二元函数的几何意义 .2. 明白二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质 .3. 懂得多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，明白全微分存在的必要条件和充分条件，明白全微分形式的不变性 .4. 懂得方向导数与梯度的概念，并把握其运算方法 .5. 把握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法 .6. 明白隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数 .7. 明白空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程 .8. 明白二元函数的二阶泰勒公式 .9. 懂得多元函数极值和条件极值的概念，把握多元函数极值存在的必要条件，明白二元函数极值存在的充分条件， 会求二元函数的极值， 会用拉格朗日乘数法求条件极值， 会求简洁多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简洁的应用问题 .六、多元函数积分学考试内容二重积分与三重积分的概念、 性质、 运算和应用两类曲线积分的概念、 性质及运算两类曲线积分的关系格林 (Green)公式平面曲线积分与路径无关的条件二元函数全微分的原函数两类曲面积分的概念、性质及运算两类曲面积分的关系高斯 (Gauss)公式斯托克斯 (Stokes)公式散度、旋度的概念及运算曲线积分和曲面积分的应用考试要求1. 懂得二重积分、三重积分的概念，明白重积分的性质，明白二重积分的中值定理 .2. 把握二重积分的运算方法 (直角坐标、 极坐标 )，会运算三重积分 (直角坐标、 柱面坐标、球面坐标 ).3. 懂得两类曲线积分的概念，明白两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系 .4. 把握运算两类曲线积分的方法 .5. 把握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件， 会求二元函数全微分的原函数.6. 明白两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，把握运算两类曲面积分的方法，把握用高斯公式运算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式运算曲线积分 .7. 明白散度与旋度的概念，并会运算 .8. 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量 (平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等 ).七、无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交叉级数与莱布尼茨定理任意项级数的肯定收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、 收敛区间( 指开区间 )和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简洁幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数绽开式函数的傅里叶 (Fourier) 系数与傅里叶级数狄利克雷(Dirichlet) 定理函数在l ,l上的傅里叶级数函数在0,l上的正弦级数和余弦级数考试要求1. 懂得常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，把握级数的基本性质及收敛的必要条件 .2. 把握几何级数与级数的收敛与发散的条件 .3. 把握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法 .4. 把握交叉级数的莱布尼茨判别法 .5. 明白任意项级数肯定收敛与条件收敛的概念以及肯定收敛与收敛的关系 .6. 明白函数项级数的收敛域及和函数的概念 .7. 懂得幂级数收敛半径的概念，并把握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法 .8. 明白幂级数在其收敛区间内的基本性质 (和函数的连续性、逐项求导和逐项积分 )，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和 .9. 明白函数绽开为泰勒级数的充分必要条件 .10. 把握ex ,sinx, cos x,ln 1x , 1x 的麦克劳林 (Maclaurin) 绽开式，会用它们将一些简洁函数间接绽开为幂级数 .11. 明白傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在l ,l上的函数绽开为傅里叶级数，会将定义在0,l上的函数绽开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式 .八、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分别的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利(Bernoulli) 方程全微分方程可用简洁的变量代换求解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简洁的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉 (Euler) 方程微。