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1、专题27 向量法求空间角一、单选题 1在正方体中，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）ABCD【答案】C【分析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，写出，的坐标，然后可得和的坐标，然后可算出答案.【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，则，设异面直线与所成的角为，则，所以，故选：C2在长方体中，设交于点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】D【分析】首先以为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，再利用向量法求异面直线成角即可。【详解】以为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，因为
2、，所以，则.故选：D【点睛】本题主要考查向量法求异面直线成角，属于简单题。3如图在棱长为2的正方体中，点是的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于（ ）ABCD【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，利用向量求出异面直线和所成角的余弦值【详解】建立空间直角坐标系，如图所示；，0，0，0，2，0，；，0，2，；所以，；所以异面直线和所成角的余弦值为故选：A【点睛】方法点睛：求异面直线所成的角常用的两种方法：方法一：（几何法）找（观察）作（平移法）证（定义）指求（解三角形）；方法二：（向量法）利用向量里异面直线所成的角的公式求解.4如图，已知点、G、分别是正方体中棱、的中点，记二
3、面角的平面角为，直线与平面所成角为，直线与直线所成角为，则（ ）ABCD【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角、二面角、异面直角所成角，即可比较；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，显然面的法向量为，设面的法向量为，则，即，令则、，所以所以，所以，因为，即，所以故选：D5如图，在正四面体中，记平面与平面平面平面，所成的锐二面角分别为，则（ ）ABCD【答案】A【分析】过A作平面，取的中点M，连接，交于点O，以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用坐标向量法先求，再根据余弦函数单调性比较大小即可.【详解】解：(空间向量法)因为，所
4、以EF分别为的中点，G为上靠近A的三等分点，取的中点M，连接，过A作平面，交于点O，在平面中过O作，交于N，设正四面体的棱长为2，则，以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，则，即，不妨令，则，同理可计算出平面平面平面的一个法向量分别为，则可得，所以，又在上递减，所以，故选：A.6如图，在长方体中，是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】D【分析】以为原点，为轴为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值【详解】在长方体中，为的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，2，0，2，0，0，0，设异面直
5、线与所成角为，则异面直线与所成角的余弦值为故选：【点睛】求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.7已知两条异面直线的方向向量分别是，1，2，则这两条异面直线所成的角满足（ ）ABCD【答案】C【分析】由已知两条异面直线的方向向量的坐标，然后利用数量积求夹角公式，即可求得答案.【详解】两条异面直线的方向向量分别是，1，2，又两条异面直线所成的角为，.故选：.二、解答题8如图，四边形中，是等腰直角三角形，
6、是边长为2的正三角形，以为折痕，将向上折叠到的位置，使点在平面内的射影在上，再将向下折叠到的位置，使平面平面，形成几何体.（1）点在上，若平面，求点的位置；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）为的中点；（2）.【分析】（1）设点在平面内的射影为，连接，取的中点，易得平面.取的中点，连接，由平面平面，得到平面，又平面，则，则平面，然后由面面平行的判定定理证明.（2）连接，以为坐标原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量为，由求解.【详解】（1）如图，设点在平面内的射影为，连接，在中，为的中点.取的中点，连接，则，又平面，平面，平面.取的中点，连
7、接，则易知，又平面平面，平面平面，平面，又平面，又平面，平面，平面.又，平面平面.又平面，平面，此时为的中点.（2）连接，由（1）可知，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，从而，.设平面的一个法向量为，则即得，取，则，.设平面的一个法向量为，则即得，取，则，从而.易知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.【点睛】关键点点睛：（1）在求解与图形的翻折有关的问题时，关键是弄清翻折前后哪些量变了，哪些量没变，哪些位置关系变了，哪些位置关系没变；（2）利用向量法求二面角的关键是建立合适的空间直角坐标系及准确求出相关平面的法向量.9如图所示，在四棱锥中，底面，
8、为的中点.（1）求证：平面；（2）在侧面内找一点，使平面；（3）求直线与平面所成角的正弦.【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）.【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以为原点，以、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设点，由题意得出，求出、的值，求出点的坐标，可确定点的位置；（3）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦.【详解】（1）取的中点，连接、，为的中点，为的中点，则且，在平面中，由已知条件可得，且，所以，四边形为平行四边形，平面，平面，平面； （2）底面，以为原点，以、所在直线为轴、轴、轴建
9、立空间直角坐标系，则、，在平面内设，由，可得，由，可得，所以，所以，当是的中点，此时平面； （3），由（2）可知，平面的一个法向量为， ，故直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】求直线与平面所成的角，可先求出平面的法向量与直线的方向向量的夹角，则.10如图所示，四棱锥中，侧面是边长为的正三角形且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.（1）求与底面所成角的大小；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）根据题意，由是正三角形，取的中点，得出，再由面面垂直的性质得出平面，连结，得出就是与底面所成角，根据题给条件得出，即可得出与底面所成角的大小；（
10、2）根据菱形的性质得出，建立空间直角坐标系，通过空间性量法证明出，再根据线面垂直的判定定理，即可证出平面；（3）通过空间向量求法向量的方法，分别求出平面的法向量，和平面的法向量，根据向量法求空间二面角的公式，利用向量数量积和模的运算可得出结果，经观察二面角的平面角为钝角，则，从而得出结果.【详解】解：（1）取的中点，由是正三角形，有， 又平面底面，平面， 连结，则是在底面上的射影，就是与底面所成角，由已知和是全等的正三角形，从而求得，与底面可成角的大小为； （2）证明：由底面为菱形且，有，建立空间直角坐标系如图，则、，由为中点， ，且，而平面，平面； （3），令平面的法向量，则，从而；，从而；
11、由，取，则，可取，由（2）知平面的法向量可取，设二面角的平面角为，经观察为钝角，则.【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何法求线面角，考查利用向量法证明线线垂直以及线面垂直的判定定理和面面垂直的性质的应用，考查利用空间空间向量法求解二面角余弦值，注意向量法的合理运用，向量法解题时熟练掌握向量的坐标以及法向量的计算、向量的数量积运算、空间二面角的向量公式是解题的关键.11如图，三棱柱中，平面平面，和都是正三角形，是的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）首先证明，进一步得出结论. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小，首先正确求出
12、两个平面的法向量，进一步求出二面角【详解】（1）如图，连接，交于点，连接，由于四边形是平行四边形，所以是的中点因为是的中点，所以因为平面，平面，所以平面（2）如图，取的中点，连接，根据和都是正三角形，得，又平面平面，平面平面，所以平面，于是以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系设，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以设平面的法向量，则，即，令，则，所以设二面角的大小为，由图易知为锐角，则，因此二面角的余弦值为【点睛】本题是综合性题目，属于课堂学习情境和探索创新情境，具体是数学推理学习情境和数学探究情境，本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力解
13、题关键 （1）证明线面平行的关键是找到线线平行，而线线平行常常借助三角形的中位线定理来证明（2）利用向量法求二面角的大小，关键是建立合适的空间直角坐标系，然后正确求出两个平面的法向量12如图，在四棱锥中，底面中，侧面平面，且，点在棱上，且（）证明：平面；（）求二面角的余弦值【答案】（）证明见解析；（）【分析】（）要证明线面平行需证明线线平行，接交于点，连接，利用线段比例相等，证明；（）如图，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量二面角的余弦值.【详解】命题意图 本题考查空间关系的证明以及利用空间向量计算二面角的余弦值解析（）如图，连接交于点，连接， 因为， ，所以，由条件得，所以，又平面，平面，所以平面（）如图，取的中点，连接，由条件可知， ，两两垂直，以， ，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ，因为，所以所以， ，设平面的法向量为，则即令，则设平面的法向量为，则即令，则=，所以二面角的余弦值为【点睛】方法点睛：不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行
