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1、专题20 利用导数解决函数的极值点问题一、单选题1已知函数，则下列结论错误的是（ ）A是奇函数B若，则是增函数C当时，函数恰有三个零点D当时，函数恰有两个极值点【答案】C【分析】对A,根据奇函数的定义判定即可. 由条件可得，则，,所以在上单调递增,且,所以当时，当时，则在上单调递减，在上单调递增.则,将的值代入分别计算分析，可判断选项B，C，D【详解】对A, 的定义域为,且.故A正确.由条件可得，则，所以在上单调递增,且所以当时，当时，则在上单调递减，在上单调递增.则对B, 当时，所以是增函数，故B正确.对C,当时，由上可知, ，所以是增函数,故不可能有3个零点.故C错误.对D,当时，由上可知
2、在上单调递减，在上单调递增.则，所以存在，使得，成立则在上，在上，在上，.所以函数在单调递增，在的单调递减，在单调递增.所以函数恰有两个极值点，故D正确.故选：C【点睛】关键点睛：本题主要考查利用导数分析函数的单调性从而得出函数的零点和极值情况，解答本题的关键是对原函数的单调性分析，由条件可得，则，所以在上单调递增,且，所以当时，当时，则在上单调递减，在上单调递增.则，经过多次求导分析出单调性，属于中档题.2如图是函数的导函数的图象，则函数的极小值点的个数为（ ）A0B1C2D3【答案】B【分析】通过读图由取值符号得出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案【详解】由图象，设与轴的两个交
3、点横坐标分别为、其中，知在，上，所以此时函数在，上单调递增，在上，此时在上单调递减，所以时，函数取得极大值，时，函数取得极小值则函数的极小值点的个数为1故选: B【点睛】本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查数形结合思想，属于基础题3已知函数的导函数，若在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】分四种情况讨论，分别判断两边导函数值的符号，判断在处是否取得极大值，即可筛选出的取值范围.【详解】由在处取得极大值可知，当时，；当时，其等价于存在，使得，且存在，使得；若时，的解集为，不满足即不存在，使得，故时在不是极大值；若时，的解集为，的解集为，满足，故时，在处取得极大
4、值；若，恒小于等于0，不满足，故时，在取不到极大值；若时，的解集为，不满足，故时，在处取不到极大值.综上，的取值范围是.故选：A.【点睛】求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4)检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.4若函数无极值点则实数a的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】求出函数的导数，问题转化为最多1个实数根，根据二次函数的性质求出a的范围即可.【详解】,，由函数无极值点知，至多1个实数根，解得，实数a的取值范围是，故选：B【点睛】本题主
5、要考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，属于中档题.5已知函数有两个极值点，则a的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据函数有两个极值点得到关于的方程有两个解，采用分离常数的方法分离出，并采用构造新函数的方法确定出新函数的取值情况，由此分析出的取值情况.【详解】因为有两个极值点，所以有两个不同实数根，所以有两个不同实数根，所以有两个不同实数根，显然，所以有两个不同实数根，记，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为时，；当时，；当时，所以当有两个不同实数根时 ，所以，所以，故选：D.【点睛】本题考查根据函数极值点的个数求解参数范围，其中涉及到分离参数方法的使用，
6、对学生的理解与计算能力要求较高，难度较难.6“”是“函数在上有极值”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出函数的极值点，利用该极值点在内求得实数取值范围，利用集合的包含关系可得出结论.【详解】，则，令，可得.当时，；当时，.所以，函数在处取得极小值.若函数在上有极值，则，.因此，“”是“函数在上有极值”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用导数求函数的极值点，考查计算能力与推理能力，属于中等题.7已知函数，若同时满足条件：，为的一个极大值点；，.则实数a的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析
7、】条件说明在上存在零点，极大值点，利用方程的根可得的范围，然后求出条件不等式恒成立的范围，求交集可得的范围【详解】定义域是，在存在极大值点，则有两个不等实根，或，设的两个实根为，或时，时，当，则，但时，不可能是极大值点；当时，由知，或时，时，即在和上递增，在上递减，是极大值点，满足题意所以，则，综上故选：A【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，及不等式恒成立问题，求解不等式恒成立问题的方法是问题的转化，转化为求函数的最值8若函数（为常数）有两个不同的极值点，则实数取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】首先求导得到，将题意转化为函数与的图象有两个不同的交点，再利用导数求出函数的单调区间和最值
8、，即可得到答案.【详解】，函数（为常数）有两个不同的极值点，等价于函数与的图象有两个不同的交点，因为为增函数，且，则，为减函数，为增函数，所以，故.故选：C【点睛】本题主要考查根据函数的极值点求参数，属于中档题.9已知函数在处取得极值，则（ ）A1B2CD-2【答案】C【分析】利用列方程，解方程求得的值.【详解】，依题意，即.此时，所以在区间上递增，在区间上递减，所以在处取得极大值，符合题意.所以.故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点、极值，属于基础题.10设函数，则下列是函数极小值点的是（ ）ABCD【答案】D【分析】将函数进行求导，由于在的左侧，导函数值小于，右侧导函数值
9、大于，得到是函数极小值点.【详解】，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，是的极小值点.故选：.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，关键是能够明确极值点的定义，根据导函数的正负确定原函数的单调性，进而得到极值点.11函数的图象大致是( )ABCD【答案】B【分析】根据解析式求得导函数，并求得极值点，由极值点个数可排除AD；再由时，恒为正，排除C即可得解.【详解】函数，则，令，解得的两个极值点为，故排除AD，且当时，恒为正，排除C，即只有B选项符合要求，故选：B.【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数图像，导函数与函数图像的关系应用，属于基础题.12已函数的两个极值点是和，则点的轨迹是（
10、 ）A椭圆弧B圆弧C双曲线弧D抛物线弧【答案】D【分析】根据极值点的定义把用表示后，消去得关于的方程，由方程确定曲线【详解】由题意，所以是方程的两根，所以且，所以，所以点在曲线上，还要满足，轨迹为抛物线弧故选:D【点睛】本题考查值点的定义，考查由方程研究曲线，掌握极值与导数的关系是解题基础在由方程研究曲线时，注意方程中变量的取值范围13若是函数的极值点，则的值是（ ）A1BCD【答案】C【分析】根据题意得到，即可得到答案.【详解】由，则，则.故选：C【点睛】本题主要考查函数的极值点，属于简单题.14已知函数，则）的极大值点为（ ）ABCD【答案】C【分析】求出函数的导函数，进而求出导函数大于0
11、以及小于0的解，根据导函数在各段内的符号判断函数在不同区间内的单调性，从而得到函数的极值点.【详解】解：由，得：.由，得：，或.由，得：.所以函数的增区间为.函数的减区间为.所以，是函数的极大值点，是函数的极小值点.故选：C.【点睛】本题考查求具体函数的极值点，解题的关键是区分极值点和极值的定义，属于基础题.15若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】计算，然后等价于在（0，+）由2个不同的实数根，然后计算即可.【详解】的定义域是（0，+），若函数有两个不同的极值点，则在（0，+）由2个不同的实数根，故，解得：，故选：D.【点睛】本题考查根据函数极值点个数求
12、参，考查计算能力以及思维转变能力，属基础题.二、多选题16设函数的导函数为，则（ ）AB是的极值点C存在零点D在单调递增【答案】AD【分析】求出定义域，再求导，计算即可判断A，由导函数，即可判断选项B、D，由，即可判断选项C，从而可得结论【详解】由题可知的定义域为，对于A，则，故A正确；对于B、D，所以函数单调递增，故无极值点，故B错误，D正确；对于C，故函数不存在零点，故C错误故选：AD17关于函数，下列结论正确的有（ ）A当时，在处的切线方程为 B当时，存在惟一极小值点C对任意，在上均存在零点D存在，在有且只有一个零点【答案】ABD【分析】逐一验证，选项A，通过切点求切线，再通过点斜式写出
13、切线方程；选项B，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题.【详解】对于A：当时，所以，故切点为，所以切线斜，故直线方程为，即切线方程为：，故选项A正确；对于B：当时，恒成立，所以单调递增，又，所以存在，使得，即，则在上，单调递减，在上，单调递增，所以存在惟一极小值点，故选项B正确；对于 C、D：,，令得：，则令，令，得：，由函数图象性质知：时，单调递减，时，单调递增，所以当，时，取得极小值，即当时，取得极小值，又 ，即,又因为在，单调递减，所以，所以，时，取得极大值，即当 时，取得极大值.又，即，当时，所以当，即时，在上无零点，所以选项C不正确；当时，即时，与的图象只有一个交点，即存在，在有且只有一个零点，故选项D正确.故选：ABD【点睛】本题考查函数的极值、切线、零点的问题，属于较难题.18已知函数，则下列说法正确的有（ ）A是偶函数B是周期函数C在区间上，有且只有一个极值点D过(0，0)作的切线，有且仅有3条【答案】ACD【分析】利用函数的奇偶性的定义易知函数为偶函数，所以A正确；根据周期性的定义可判断B错误；根据导数判断其单调性，易知有且只有
