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1、复变函数与积分变换总结范文 复变函数与积分变换总结 复变函数与积分变换复习要点： (1)复数的运算和复函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、双曲函数）值的计算；(2)判别复函数的连续性、可导性和解析性（包括CauchyRiemann方程）；(3)求复积分（包括利用CauchyGoursat基本定理和留数定理）；(4)求共轭调和函数； (5)求复函数的Taylor级数和Laurent级数；(6)求留数及其在积分中的应用； (7)Fourier正逆变换公式以及七条常用性质（线性、位移、微分、积分、卷积、乘积、相似性质）；(8)Laplace正逆变换公式以及七条常用性质（线性、微分、积分、位移
2、、延迟、卷积、相似性质）；(9)利用Laplace变换求解线性微分方程（组）；(10)1,t,u(t),et,(t),sinkt,coskt的Fourier变换公式和Laplace变换公式Fourier变换公式： 12()；t2j()；u(t)1j()；et2(j)；(t)1； sinktj(k)(k)；coskt(k)(k) Laplace变换公式： 11s；t1s2；u(t)1s；et1s；(t)1；sinktksk22；cosktssk22 计算题 i例1计算Ln(1i),sin(i)，i 12ln2i(2k解：Ln(1i)ln1iiArg(1i)4)； sin(i)12i(eizeiz
3、)zi12iei(i)ei(i)12(e1e)i； iieiLnieilniiArgie2k2,(kZ) （大写L）（大写Z） 例2问函数f(z)yix在何处连续？何处可导？何处解析？(zxiy)解：uy2,vx2 22u(x,y),v(x,y)在实平面处处连续，f(z)在复平面处处连续 ux0vy0xy0，uy2yvx2x处解析例3计算Idz(zi)(z3i)1(zi)(z3i)33f(z)仅在直线xy0上可导；但直线不含邻域，f(z)无 C，其中曲线为：(a)圆周z12的正向；(b)圆周z2的正向 解：记f(z)(a)f(z)在曲线内部解析，根据CauchyGoursat基本定理，I0(b
4、)f(z)有奇点：z1i，三级极点利用留数定理， 31(zi)I2iResf(z),i2ilim32!zi(zi)(z3i)32 例4例5例6 P10330(2),(3)（共轭调和函数） P14311(4)，12(3),16(3),(5)P1831(2),(7),8(3),9(5) P293(1),16 例7积分变换例8 P513,5(3),(6) 5(3)据P12例1，Fetu(t)1j,(0)，利用线性性质和象函数位移性质得： Fet1j0tj0ttcos0tu(t)F(ee)eu(t) 212Fej0tetu(t)12Fej0tetu(t) j22(j)0象函数位移性质j0t112j11
5、2j5(6) Fetu(t)象函数Ftu(t)位移性质0象函数jFjtu(t)微分性质0 1j()j例9例10例11 0112j()j(0)2(0)0P921(2),(3),(8),3(1)(利用性质计算) P1003(3),(7),P1051(10)P1351(6),4(2) 201*/201*学年第一学期复变函数与积分变换B课程考核试卷A、B 课程代码：2201*142学分/学时数2.5/40任课教师_课程性质：必修、限选、任选考试形式：开卷、闭卷适用年级/专业_全校工科类各专业_考试时间100分钟学号姓名_得分_ 注意：务请考生保持卷面整洁、少涂改，否则适当扣分 一填空题(每小题5分，共
6、15分可以增补一个中间式）： 1计算函数值：cos(2i)=_； 3=_ 2函数f(t)1z2i在z01处的Taylor级数为_； 其收敛半径为_3若C是圆周z10的正向，则二（10分）试问函数f(z)e三（12分）计算积分I=C1sindzz1C4的值为_ 4yix(其中zxiy)在何处连续？何处可导？何处解析？为什么？ zdz(z3i)(z1)2，其中曲线C为： (a)圆周z0.5的正向；(b)圆周z11的正向四（8分）试将函数f(z)5(z1)(z2)sinzz(z5i)在区域1z1内展开成Laurent级数 五（10分）试指出f(z)在有限复平面内的孤立奇点及其类型，并求各孤立奇点处的
7、留数 六（16分）(1)试求f(t)2u(t3)cos(4t)的Fourier变换；(2)试求f(t)e3jt(t2)t的Fourier变换 七（16分）(1)设函数f(t)以2为周期，且f(t)kt,t0,2试求f(t)的Laplace变换(k为常数)；(2)试求f(t)t(t)t0sinktdt的Laplace变换(k为常数) 八（13分）试用积分变换法求解初值问题：xx2x2,（其中xx(0)0,x(0)2, x(t)为未知函数） 201*/201*学年第一学期复变函数与积分变换A课程考核试卷A、B 课程代码：2201*141学分/学时数3/48任课教师_课程性质：必修、限选、任选考试形
8、式：开卷、闭卷适用年级/专业_全校工科类各专业_考试时间_100分钟学号姓名_得分_ 注意：务请考生保持卷面整洁、少涂改，否则适当扣分 一填空题(每小题6分，共18分可以增补一个中间式）： 1复数Ln(2i)=_，其主值为_2f(z)cos(z2)在z00处的Taylor级数为_；收敛半径为_3计算积分zedz的值_ 02iz二（10分）试求解析函数f(z)u(x,y)iv(x,y)，其中zxiy，v(x,y)2(x1)y，f(0)1三（13分）计算积分I= Cz(zi)ez2dz，其中曲线C为： (a)圆周z10.5的正向；(b)圆周z5的正向四（9分）试将函数f(z)10(z1)(z2)在
9、区域1z2内展开成Laurent级数 五（5分）计算广义积分Ixdx16x42 六（16分）(1)求f(t)t(t2)1的Fourier变换；(2)求f(t)e2tjtcos(2t)的Fourier变换七（16分）(1)试求f(t)e2tu(t3)sin4t的Laplace变换；(2)按照积分变换第二章，计算卷积u(t)t2 x2xxe2t1八（13分）试用积分变换法求解初值问题：（其中 x(0)0,x(0)2,xx(t)为未知函数） 寄语当代大学生“刻苦学习，勇于实践，立志创业”。 扩展阅读：复变函数与积分变换重要知识点归纳 复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：zxiy，x,
10、y是实数, xRez,yImz.i21. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：zx2y2； 2）幅角：在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Argz（多值函数）；主值argz是位于(,中的幅角。3）argz与arctany之间的关系如下： xy；xyxyx当x0, argzarctany0,argzarctan当x0,y0,argzarctan； 4）三角表示：zzcosisin，其中argz；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示：z(二)复数的运算 1.加减法：若z1x1iy1,z2x2iy2，则z1z2x1x2iy1y22.乘除法： 1）若z1x1iy
11、1,z2x2iy2，则 z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2； zei，其中argz。 z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1i2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y2z1ei1,z2z2ei2, 。 2）若z1则 z1z2z1z2e1i2；z1z2z1z2e1i2 3.乘幂与方根1）若z2）若zn1nz(cosisin)zei，则znz(cosnisinn)zeinnn。 z(cosisin)zei，则 2k2kzzcosisinnn(k0,1,2n1)（有n个相异的值） （三）复变函数 1复变函数：wfz，在几何上可以看作把z平面上的一个
12、点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2复初等函数 1）指数函数：ezexcosyisiny，在z平面处处可导，处处解析；且ezez。 注：ez是以2i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3）对数函数： Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)（多值函数）； 主值：lnzlnziargz。（单值函数） Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处 解析，且lnz1； z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同） 3）乘幂与幂函数：abebLna(a0)；zbebLnz(z0) 注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且zbbzb1。 eizeizeizeizsinzcosz,cosz,tgz,ctgz4）三角函数：sinz2i2coszsinz sinz,cosz在z平面内解析，且sinzcosz,coszsinz 注：有界性sinz1,cosz1不再成立；（与实函数不同） 4）双曲函数 shzezezezezshz,chz22； 平面内解析，且 奇函数
