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1、2016年上海 数学试卷（理）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1、设x,则不等式的解集为_2、设，其中为虚数单位，则=_3、已知平行直线，则的距离_4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_（米）5、已知点在函数的图像上，则6、如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于_7、方程在区间上的解为_ 8、在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_9、已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_10、设若关于的方程组无解，则的取值范围是_1
2、1. 无穷数列由k个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，则k的最大值为_.12. 在平面直角坐标系中，已知是曲线上一个动点，则的取值范围是_.13. 设，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为_.14. 如图，在平面直角坐标系中，O为正八边形的中心，.任取不同的两点，点P满足，则点P落在第一象限的概率是_.2、 选择题（54=20）15. 设，则“”是“”的（ ）（A） 充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ）（A） （B）（C） （D）17. 已知无穷等比数列的公比为，前n项和为，且.下列条
3、件中，使得恒成立的是（ ）（A） （B）（C） （D）18、设、是定义域为的三个函数，对于命题：若、均为增函数，则、中至少有一个增函数；若、均是以为周期的函数，则、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）、和均为真命题 、和均为假命题、为真命题，为假命题 、为假命题，为真命题 三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形（及其内部）绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧。（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小。20、 （本题满分14） 有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中
4、的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图（1） 求菜地内的分界线的方程（2） 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值21.（本题满分14分=6分+8分）双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点。（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率. 22.（本题满分16分=4分+6分+6分）已知，函数.（1）当时，解不
5、等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.23. （本题满分18分=4分+6分+8分）若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.（1）若具有性质，且，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，判断是否具有性质，并说明理由；（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.2016年上海 数学试卷（理）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1、设x,则不等式的解集为_答案： 2、设，其中为虚数单位，则=_答案： 3、已知平行直线，则的距离_答案：
6、4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_（米）答案：1.76米5、已知点在函数的图像上，则答案： 6、如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于_答案：2 7、方程在区间上的解为_ 答案：或 8、在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_答案：1129、已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_答案： 10、设若关于的方程组无解，则的取值范围是_答案： 11、无穷数列由k个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，则k的最大值为_.答案：412
7、、在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线上一个动点，则的取值范围是_.答案： 13、设，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为_.答案：414、如图，在平面直角坐标系中，O为正八边形的中心，.任取不同的两点，点P满足，则点P落在第一象限的概率是_.答案： 3、 选择题（54=20）15、设，则“”是“”的（ ）（B） 充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件答案：A16、下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ）（B） （B）（C） （D）答案：D17、已知无穷等比数列的公比为，前n项和为，且.下列条件中，使得恒成立的是
8、（ ）（B） （B）（C） （D）答案：B解析：由，可得，而由可知，故，当时，由知，不可能对于都成立；当时，经检验，可知B成立18、设、是定义域为的三个函数，对于命题：若、均为增函数，则、中至少有一个增函数；若、均是以为周期的函数，则、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）、和均为真命题 、和均为假命题、为真命题，为假命题 、为假命题，为真命题 答案：D解析：反例区分：周期与最小正周期由 故为假命题三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形（及其内部）绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧。（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小。答案：； 20（本题满
9、分14） 有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图（1）求菜地内的分界线的方程（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值答案：（1）；（2）五边形的面积更接近的面积21.（本题满分14分=6分+8分）双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于
10、两点。（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率. 答案：（1）；（2） 22.（本题满分16分=4分+6分+6分）已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.答案：（1）；（2）；（3） 23. （本题满分18分=4分+6分+8分）若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.（1）若具有性质，且，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，判断是否具有性质，并说明理由；（3）设是无穷数列，已知.求证：“对
11、任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.答案：（1）；（2）由于，但，故不具有性质；（3）证明：必要性：若对于任意 ，都具有性质，则，设函数 由 图像可得，对于任意的，二者图像必有一个交点，所以一定能找到 ，使得，所以，所以，故，故是常数列 上海 数学试卷（理工农医类） 参考答案一、填空题（第1题至第14题）123456789 1011121314 二、选择题（第15题至第18题）15161718三、解答题（第19题至第23题）19【解】（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径由长为，可知，（2）设过点的母线与下底面交于点，则，所以或其补角为直线与所成的角由长为，可知，又，所以，从而为等边三角形，得因为平面，所以在中，因为，所以，从而直线与所成角的大小为20【解】（1）因为上的点到直线与到点的距离相等，所以是以为焦点、以为准线的抛物线在正方形内的部分，其方程为（2）依题意，点的坐标为所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为，所以五边形面积更接近面积的“经验值”21【解】（1）设由题意，因为是
