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1、1.二元函数极限概念分析R2 上有定义， P 是 D 的聚点， A 是一个确定的实数 .定义 1f设函数在 D00，总存在某正数, 使得假如对于任意给定的正数PU(P ;) ID 时，都有0f (P)A,就称在 D 上当 PfP0 时，以 A 为极限，记 limf (P)A .PP0P D上述极限又称为二重极限.2二元函数极限的求法2.1利用二元函数的连续性如函数 f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续，就命题lim( x , y )(x0 , y0 )f ( x, y)f ( x0 , y0 ) .x2f ( x, y)2 xy例 1在点 (1,2) 的极限 .求x2f (
2、x, y)2xy 在点 (1,2) 处连续，所以解：由于limf ( x, y)x 1y 2lim( x22 xy)x 1y 2125.2121例 2求极限lim2x2y 2x , y1,1因函数在 1,1 点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即解：1= 1 3lim2x2y 2x, y1, 112.2利用恒等变形法.将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等2xyxy4例 3求limx 0y 02xyxy4解：limx0y0(2xy4)(2xy4)4)limx 0y 0xy(2xyxyxylimx 0y 0xy(24)1xylimx 0y 02414.2 x2 )(13 y 2 )(11
3、例 4lim22x , y0 ,02 x3 y22x23 y22x213y11111解：原式limx , y0,02x23 y212 x23y2116x2 y212x211limx, y0,012x23y22x23 y213y 211121 2022.3利用等价无穷小代换. 在二元函数中常见的一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数u 2 ( x, y)2等价无穷小 (u ( x, y)0) ，有sin u (x, y) : u ( x, y) ；1cos u ( x, y) :；ln 1u( x, y): u( x, y) ； tan u (x, y) :u( x, y) ； arcsi
4、n u( x, y) :u (x, y) ；u( x, y)n； eu( x, y )n1 :u (x, y) ；同一元函arctan u( x, y) :u( x, y) ；1u (x, y)1 :.数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用1xxyy1例 5求limx 0y 0y1 :1 ( x20 .解：当x0 ， y0 时，有 xy1xy) ，所以1xxyy1limx 0y 01 (x2xy)limx 0y 0y12.1xxyy1limx 0y 01yxy1)(11xlimx 0y 0(1x 1xy1)这个例子也可以用恒等变形法运算，如：limx 0y 01y11 .232.4利用两
5、个重要极限1u( x, y )sin u( x, y)u( x, y)1， lim1u( x, y)elim它们分别是一元函数中两个重u (x , y)0u ( x , y )0要极限的推广 .x 21 ) xxyy例 6求极限lim(1xya.解：先把已知极限化为x 2xy (xx 2x y21xy1xyy )，而xxy( x11xylim(1x)limxya(1)limxlimxya,yxy)a(1) yyaya1xy1xy)xy当x, ya 时 xy,0 ，所以lim(1e.x yax2xy ( x y )1xyxylim(1)故原式 = xya1ea .sin( xy)x例 7极限.求
6、limx 0y asin( xy)xy. sin( xy) ，当 x xy解：由于0, ya 时， xy0 ，所以sin( xy)xy1 ，再利用极限四就运算可得：lim sin( xy)y. sin(xy)xysin(xy)xya.1= a .limlim y. limxx 0y ax 0y ayaxy0这个例子也可以用等价无穷小代换运算，如：当x0 ， ya 时，xy0， sin( xy) :xy .4lim sin( xy)xyx所以，limlim ya.xx 0y ax 0y aya2.5利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论lim(xy)sin 1 cos 13例 8求xyx
7、0y 0sin 1 cos 13解:由于1lim(xy)0是无穷小量，是有界量，x0xyy0y)sin 1 cos 10.3故可知， lim(xxyx0y03)2 ( y( x2)2)例 9求lim22x 3y 2(x3)( y(x3)( y2)2)2解原式= lim(x3)(x3)2( yx 3y 2(x3)2( x3)2( y2)2( y2)2( x3)( y2)12由于是有界量，又3)2( y2)2(x2lim( x3)0是无穷小量，x3y23)2 ( y( x(x2)2).所以 ，lim022x 3y 23)( y虽然这个方法运算实际问题上不那么多用，但运算对无穷小量与有界量的.乘积形
8、式的极限的最简洁方法之一2.6 利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来运算，5从而使二元函数的极限变得简洁. 但利用时肯定要满意下面的定理；定理：函数 fx, y点x0 , y0的取心领域内有定义的且cos a 、cosb 沿向量limx0t cosa, y0t cosbA , 就xx0, yy0的方向余弦， 如二元函数的极限t01 如 A 的值与 a 、b 无关，就limx, yx0 , y 0fx, yA ；2 如 A 的值与 a 、b 有关，就不存在；limx, yx0 , y0fx, ylim ( x2y 2 )e( x y)例 10求x y(xy)
9、2ex yx2y 2lim (x2 xyy2 )e( xy)解limxyx2y22 xyx2y2x0, y0 时，xyt ，明显满意定理的条件，就因，令122x2 xyy(xy)2ex yt 2et2tet2et， lim (x2y2 )e( x y)0 .limlimlimlim0 ，所以xtttx yyx2y 21costanx求极限 lim例 1122x 0y 0yx2y 2又 lim ulimx 0y 00 明显满意定理的条件，就x2y2解：令 ux 0y 0x2y21cos1cos usin u2u sec2 u 21sin u12cos2u 2limlimlimlimtan u 2
10、x2y2x 0y 0u0u0u02utan2.7利用夹逼准就二 元 函 数 的 夹 逼 准就 ： 设 在点P0 (x0 , y0 )的 领 域 内有limh( x, y)limg( x, y)A （常数），h ( x, y)f ( x, y)g ( x, y) ，且( x, y)(x 0 , y 0 )(x , y)( x0 , y 0 )6就f (x, y)A .lim( x, y)(x 0 , y 0 )但要留意求二元函数极限时是对两个变量同时放缩x2xy2y例 12求limx0y0y )2yx2xy2y( xx解:由于0xy0(x0, y0)，由夹逼准x2xy2y.就，得lim0x0y0sin( x 2 y)例 13求极限lim22x yxysin( x 2 y)1解:0，2222xyxy又10 ，limx 2y2x y故sin( x 2 y)=0lim22x yxy2.8先估量后证明法.此方法的运用往往是先通过观看推断出函数的极限，然后用定义证明x2 y2例 14在点 (0,0)处的极限 .求函数f ( x, y)22xy解:此例分 2 部考虑：7ykx ，考虑f ( x, y) 沿 ykx( x, y)(0,0)先令时的极限，x4 k2x2 k 2x4k 2k2k 2x2. 由于路径ykx 为limf ( x, y)
