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1、数形结合的思想|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.1， 数形结合思想的概念；数形结合思想就就为通过数与形之间的对应关系与相互转化来解决问题的思想方法；数学就为讨论现实世界的数量关系与空间形式的科学,数与形之间就为既对立又统一的关系,在肯定的条件下可以相互转化；这里的数就为指数，代数式，方程，函数，数量关系式等,这里的形就为指几何图形与函数图象；在数学的进展史上,直角坐标系的显现给几何的讨论带来了 新的工具 ,直角坐标系与几何图形相结合,也就就为把几何图形放在坐标平面上,使得几何图形上的每个点都可以用直角坐标系里的坐标(有序实数对 )来表示 ,这样可以用代数的量化的运算的方法来
2、讨论图形的性质,堪称数形结合的完善表达；数形结合思想的核心应就为代数与几何的对立统一与完善结合,就就为要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题就为 正确的， 什么时候运用几何方法解决代数问题就为正确的；如解决不等式与函数问题有时用图象解决特别简捷 ,几何证明问题在中学就为难点,到高中运用解析几何的代数方法有时就比较简便；2， 数形结合思想的重要意义；数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化，使繁难的数学问题简捷化,使得原本需要通过抽象思维解决的问题 ,有时借助形象思维就能够解决,有利于抽象思维与形象思维的和谐进展 与优化解决问题的方法； 数学家华罗庚曾说过 :“数缺形时少直觉,形少数时难入微；
3、 ”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性；众所周知,学校生的规律思维才能仍比较弱 ,在学习数学时必需面对数学的抽象性这一现实问题;教材的编排与课堂教学都在 千方百计地使抽象的数学问题转化成同学易于懂得的方式出现,借助数形结合思想中的图形 直观手段 ,可以供应特别好的教学方法与解决方案；如从数的熟识，运算到比较复杂的实际问题 ,常常要借助图形来懂得与分析,也就就为说 ,在学校数学中 ,数离不开形；另外 ,几何学问的学习 ,许多时候只凭直接观看瞧不出什么规律与特点,这时就需要用数来表示,如一个角就为不就为直角，两条边就为否相等，周长与面积就为多少等；换句话说,就就为形也离不开数
4、；因此 ,数形结合思想在学校数学中的意义尤为重大；3， 数形结合思想的详细应用；数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形:一就为借助于数的精确性，程序性与可 操作性来阐明形的某些属性,可称之为 “以数解形 ”;二就为借助形的几何直观性来阐明某些概 念及数之间的关系 ,可称之为 “以形助数 ”；数形结合思想在中学数学的应用主要表达在以下几个方面 :(1) 实数与数轴上的点的对应关系;(2)函数与图象的对应关系;(3)曲线与方程的对应关系 ;(4)与几何有关的学问,如三角函数，向量等 ;(5)概率统计的图形表示 ;(6) 在数轴上表示不等式的解集 ;(7) 数量关系式具有肯定的几何意义,如 s
5、=100t ；数形结合思想在学校数学的四大领域学问的学习中都有特别普遍与广泛的应用,主要表达在以下几个方面 :一就为利用 “形”作为各种直观工具帮忙同学懂得与把握学问，解决问题,如从低年级借助直线熟识数的次序,到高年级的画线段图帮忙同学懂得实际问题的数量关系；二就为数轴及平面直角坐标系在学校的渗透,如数轴，位置，正反比例关系图象等,使同学体会代数与几何之间的联系；这方面的应用虽然比较浅显,但这正就为数形结合思想的重点所在, 就为中学数学的重要基础；三就为统计图本身与几何概念模型都就为数形结合思想的表达, 统计图表把抽象的枯燥的数据直观地表示出来,便于分析与决策； 四就为用代数 (算术 )方法解
6、决几何问题；如角度，周长，面积与体积等的运算,通过运算三角形内角的度数,可以知道它就为什么样的三角形等等；4， 数形结合思想的教学；数形结合思想的教学 ,应留意以下几个问题；第一 ,如何正确懂得数形结合思想；数形结合中的形就为数学意义上的形,就为几何图形与图象；有些老师往往简单把利用各种图形作为直观手段帮忙同学懂得学问,与数形结合思想中的“以形助数”混淆起来,彼“形”非此“形” ,学校数学中的实物与图片作为懂得抽象学问的直观手段 ,许多时候就为生活意义上的形,并不都就为数形结合思想的应用,如 6+1=7,可以通过摆各种实物与几何图片帮忙同学懂得加法的算理,这里的几何图片并不就为数形结合中 的形
7、 ,由于这里并不关怀几何图片的外形与大小,用什么外形与大小的图片都行,并没有给予图片本身外形与大小的量化的特点,甚至不用图片用小棒等材料也能起到相同的作用,因而它更就为生活中的形；假如结合数轴(低年级往往用类似于数轴的尺子或直线)来熟识数的次序与加法 ,那么就把数与形 (数轴 )建立了一一对应的关系,便于比较数的大小与进行加减法运算,这就为真正的数形结合；由于在解决实际问题时,通过画线段图帮忙同学分析数量关系就为老师与同学都特别熟识的内容,因此在案例中不再显现这方面素材；案例 1:|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.分析 :此题很难用学校算术的学问直接运算,由于它有无穷多个数
8、相加,假如就为有限个数相加,用等式的性质进行恒等变换可以运算；从题中数的特点来瞧,每一项的分子都就为1,每一项的分母都就为它前一项分母的2 倍,或者说第几项的分母就就为2 的几次方 ,第 n 项就就为2 的 n 次方；联想到分数的运算可用几何直观图表示,那么现在可构造一个长度或者面积就为1 的线段或者正方形,不妨构造一个面积就为1 的正方形 ,如下图所示；先取它的一半作为二分之一 ,再取余下一半的一半作为四分之一,如此取下去当取的次数特别大时 ,余下部分的面积已经特别小了,用极限的思想来瞧,当取的次数趋向于无穷大时,余下部分的面积趋向 于 0,因而 ,最终取的面积就就为1；也就就为说 ,上面算
9、式的得数就为1；其次 ,适当拓展数形结合思想的应用；数形结合思想中的以数解形在中学应用的较多,学校数学中常见的就就为运算图形的周长，面积与体积等内容；除此之外,仍可以创新求变 ,在学校几何的范畴内深化挖掘素材,在同学已有学问的基础上适当拓展,丰富学校数学的数形结合思 想；案例 2: 用两个一样的直角三角形与一个等腰直角三角形(腰等于前两个直角三角形的斜边), 可以拼一个直角梯形 ,如下图；假如直角三角形的边长分别就为3，4，c, 5，12，c,依据梯形的面积等于 3 个三角形的面积之与 ,比较每个直角三角形的两条直角边的平方的与,与斜边的平方之间的大小关系 ,您能发觉什么？假如直角三角形的边长
10、分别就为a，b，c 时,您又能发觉什么？分析 :当直角三角形的边长分别就为3，4， c 时,梯形的面积就为 :(3+4) (3+4) 2=24，5, 3 个三角形的面积与就为 :3 4 22+c2 2=24，5,可得 c2=25, 即 c2 32+42；当直角三角形的边长分别就为5，12， c 时,梯形的面积就为 :(5+12) (5+12)2=144，5,3 个三角形的面积与就为:5 12 22+ c22=144，5,可得 c2=169, 即 c2 52+122；当直角三角形的边长分别就为a，b，c 时,也就就为说直角三角形的三条边长可以取任意不同的值的时候 ,仍旧有梯形的面积等于3 个三角
11、形的面积之与；梯形的面积就为 :(a+b) (a+b) 2,3 个三角形的面积与就为:a b 22+c22=(2ab+c 2) 2；(a+b) (a+b)2=a(a+b)+b(a+b) 2=(a2+b2+2ab) 2所以有 (a2+b2+2ab)2 =(2ab+c2) 2,可得 a2+b2 =c2；依据以上运算结果 ,由此得出一个重大发觉 : 直角三角形两条直角边的平方的与等于斜边的平方；实际上这就为美国第20 任总统茄菲尔德发觉的证明勾股定理的方法；这里有一个难点就就为(a+b) (a+b)的运算 ,这就为中学的多项式乘法；在学校学习乘法安排律时已经会运算a(b+c)=ac+bc,那么运算
12、(a+b) (a+b)可以先把左边的 (a+b)瞧作一个数 ,分别与右边括号中的a 与 b 相乘 ,再进行运算；(a+b) (a+b) (a+b)a+(a+b)b=a2+ba+ab+b2= a2+b2+2ab案例 3:把两个外形与大小相同的长方体月饼盒包装成一包,怎样包装最省包装纸？|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.分析 :此题就为学校数学比较典型的通过探究活动发觉规律的题目,一般情形下老师会给同学足够的学具进行操作 ,拼出几种包装方法,再通过运算比较表面积的大小找到正确答案；现在 我们从代数思想动身 ,不用任何操作与详细数量的运算,一般性地 ,假设长方体的长，宽，高分别为
13、 a，b， c,并且 abc(只要给出三个数的大小次序便可,谁大谁小并不影响用代数方法运算的过程与结论 )；第一要明确的就为 ,问题所求怎样包装最省包装纸,实际上就就为求怎样拼才能使拼成的大长方体的表面积最小；每个长方体有 6 个面 ,两个长方体拼成一个大长方体后仍旧有 6 个面,但这 6 个面的面积就为原先长方体的 10 个面的面积 ,其中有两个面就为原先长方体的面 ,另 4 个面分别就为原先的相同的两个面拼成的 ;也就就为说 ,大长方体的表面积已经不就为原先两个长方体的 12 个面的面积直接相加的与了 ,而就为它们的与再减去拼在一起的两个面的面积与；原先两个长方体的12 个面的面积与就为恒定不变的,因而大长方体的表面积的大小,取决于减去的 (拼在一起的 )两个面的面积与的大小,减去的两个面的面积与越大, 大长方体的表面积就越小；依据已知条件可知,abacbc,所以把最大的两个侧面贴在一起包装最省包装纸；列成公式为 : 4(ab+bc+ac) 2ab；
