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1、北京八中 2020 高三第二学期双周练(二) 高三数学双周练 (二)试题答案第1 页/ 共6页高三数学 20200321 双周练参考答案及评分参考202003一、选择题共10 小题，每小题4 分，共 40 分二、填空题共5 小题，每小题5 分，共 25 分1140129132；(3, 2 3)1463155；2 55-注：第 13、15 题第一空3 分，第二空2 分.三、解答题共6 小题，共85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.（本小题共14 分）解： （）因为2( )3sincossin222xxxf x =+31cossin22xx-=+311sincos222xx=-+1s
2、in()62x=-+. .5 分因为( )f x的最小正周期为2，即22T =，所以=. .7 分（）因为0,02x，所以6626x-. .10 分若( )fx在区间0,2上取到最大值32，只需 262-，所以43. .14 分题 号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案D C A D A B B C C A 北京八中 2020 高三第二学期双周练(二) 高三数学双周练 (二)试题答案第2 页/ 共6页17.（本小题共14 分）解： （）设高一年级有a人，高二年级有b人. 采用分层抽样，有75,33612 33612ab=.所以高一年级有196人，高二年级有140人. .4 分（ I
3、I ）从上表可知，从高二抽取的5 名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”.故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为35. .7 分（ III ）的所有可能取值为1,2,3. .8 分1232353(1)10C CPC=,2132353(2)5C CPC=,33351(3)10CPC=. 所以的分布列为123P31035110故的期望3319( )123105105E=+=. .14 分18 （本小题共14 分）（ ）证明 :因为PAD是正三角形，O是AD的中点，所以POAD. 又因为CD平面PAD，PO平面PAD，所以POCD. DCDAD=，CDAD，平面ABC
4、D，所以PO面ABCD. 4分（ ）如图，以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 则)32,0,0(),0, 4, 0(),0,0,2(),0, 4, 2(),0, 4, 2(),0,0,2(),0, 0,0(PGDCBAO-，)3,0, 1(),3,2, 1(-FE，)3,2, 1(),0,2, 0(-=-=EGEF，设平面EFG的法向量为),(zyxm=-+=-,032,02zyxy令1=z，则) 10,3(，=m，6 分又平面ABCD的法向量) 1 , 0, 0(=n，7分OzyxEFGPCDBA北京八中 2020 高三第二学期双周练(二) 高三
5、数学双周练 (二)试题答案第3 页/ 共6页设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为，所以21|cos=nmnm. 所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为3. 9 分（）假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为6，设 1 , 0,=PAPM，PAGPPMGPGM+=+=，所以)1(32, 4,2(-=GM. 11分所以76423,cos|6sin2+-=mGM，13分整理得02322=+-，无解，所以，不存在这样的点M. 14 分19.（本小题共14 分）解： （）由椭圆的定义，得12|24PFPFa+=，2a =.2 分将点( 2,1)P的坐标代入22214xyb+=，
6、得22114b+=，解得2b =所以，椭圆C的方程是22142xy+=.5 分（）依题意，得( 2, 1)Q-设()00,Mxy，则有220024xy+=，02x，01y .6 分直线MP的方程为0011(2)2yyxx-=-，令0y =，得00021yxxy-=-，.8 分所以00021yxOEy-=-直线MQ的方程为0011(2)2yyxx+=-，北京八中 2020 高三第二学期双周练(二) 高三数学双周练 (二)试题答案第4 页/ 共6页令0y =，得00021yxxy+=+，.10 分所以00021yxOFy+=+所以220000002000222=111yxyxyxOEOFyyy-+
7、-+-2200202(42)=1yyy-.12 分= 4所以OEOF为定值.14 分20 （本小题共15 分）解： （ ）因为函数( )lnf xxx=，所以1( )lnln1fxxxxx=+=+, (1)ln111f=+=. 又因为(1)0f=，所以曲线( )yf x=在点(1, (1)f处的切线方程为1yx=-. 4 分（ ）函数( )lnf xxx=定义域为(0,)+，由（ ）可知，( )ln1fxx=+. 令( )0fx =解得1ex =. 6 分( )f x与( )fx在区间(0,)+上的情况如下：x1(0,)e1e1()e+，( )fx-0+( )f x极小值所以，( )f x的单
8、调递增区间是1()e+，；( )f x的单调递减区间是1(0, )e. 10 分北京八中 2020 高三第二学期双周练(二) 高三数学双周练 (二)试题答案第5 页/ 共6页（）当1eex时， “( )1f xax -” 等价于 “1lnaxx+” . 11 分令1( )lng xxx=+，1,eex，22111( )xg xxxx-=-=，1,eex. 当1(,1)ex时，( )0g x，所以( )g x在区间1( ,1)e单调递减 . 当(1,e)x时，( )0g x，所以( )g x在区间(1,e)单调递增 . 13 分而1( )ln eee 11.5eg=+=-，11(e)lne11.
9、5eeg=+=+. 所以( )g x在区间1,ee上的最大值为1( )e 1eg=-. 所以当e 1a-时，对于任意1,eex，都有( )1f xax-. 15 分21 （本小题共14 分）解:（ ）由条件知AS1，必有A1，又naaa21均为整数，11=a. 2 分AS2，由AS的定义及naaa21均为整数，必有A2，22=a. 4 分（ ）必要性：由“naaa,21成等差数列 ” 及11=a,22=a得), 2, 1(niiai=此时, 3, 2, 1nA =满足题目要求从而)1(21321+=+=nnnSA. 6 分充分性：由条件知,21naaa且均为正整数，可得), 3, 2, 1(n
10、iiai=故) 1(21321+=+nnnSA，当且仅当), 3, 2, 1(niiai=时，上式等号成立. 于是当) 1(21+=nnSA时，), 3 ,2, 1(niiai=，从而naaa,21成等差数列. 所以 “naaa,21成等差数列 ” 的充要条件是“)1(21+=nnSA” . 8分（）由于含有n个元素的非空子集个数有12 -n，故当10=n时，10231210=-，此时A的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m，不符合要求. 北京八中 2020 高三第二学期双周练(二) 高三数学双周练 (二)试题答案第6 页/ 共6页而用11个元素的集合1024,512,256,12
11、8,64,32,16,8 ,4,2, 1=A的非空子集的元素之和可以表示2047,2046,3 ,2, 1共2047个正整数 . 因此当2020=AS时，n的最小值为11. 10 分当2020=AS时，n的最小值为11.记102110aaaS+=则20201110=+aS并且11101aS +. 事实上若11101aS +，11111022020aaS +=，则101011a，10101110aS，所以1010=m时无法用集合A的非空子集的元素之和表示，与题意不符. 于是122020111110-+=aaS，得2202111a，*11Na，所以101011a. 当101011=a时1010,499,256,128,64,32,16,8 ,4,2, 1=A满足题意所以当2020=AS时，n的最小值为11，此时na的最大值1010. 1 4 分
