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1、专题 39数列与数学归纳 法【热点聚焦与扩展】数学归纳法为一种重要的数学方法，其应用主要表达在证明等式，证明不等式， 证明整除性问题，归纳猜想证明等本专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题.1，数学归纳法适用的范畴：关于正整数n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），就可精选范本 ,供参考！以考虑使用数学归纳法进行证明2，第一数学归纳法： 通过假设 nk 成立， 再结合其它条件去证nk1 成立刻可 . 证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证nn0 （ n0 为满意条件的最小整数）时，命题成立|精.|品.|可.|编.|辑.（2） 归纳假设：假设nk kn0 ,nN成立，证明当 nk1 时，命
2、题也成立|学.|习.|资.|料.（3） 归纳结论：得到结论：3，第一归纳法要留意的地方：nn0 ,nN 时，命题均成立（1）数学归纳法所证命题不肯定从n1 开头成立，可从任意一个正整数n0 开头，此时归纳验证从nn0 开头（2） 归纳假设中，要留意kn0，保证递推的连续性（3） 归纳假设中的 nk ，命题成立， 为证明 nk1 命题成立的重要条件 . 在证明的过程中要留意查找 nk1与 nk 的联系4，其次数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就为在假设nk 命题成立时，可用的条件只有 nk ，而不能默认其它 nk 的时依旧成立 . 其次数学归纳法为对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设
3、nk，命题均成立，然后证明nk1 命题成立 . 可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：（1） 归纳验证：验证nn0 （ n0 为满意条件的最小整数）时，命题成立（2） 归纳假设：假设nk kn0 ,nN 成立，证明当 nk1时，命题也成立（3） 归纳结论：得到结论：nn0 ,nN 时，命题均成立 .5. 留意点：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点. 一为归纳结论不正确；二为应用数学归纳法，确认 n 的初始值 n0 不精确；三为在其次步证明中，忽视应用归纳假设.【经典例题】例 1. 【2021 届重庆市第一中学5 月月考】已知为正项数列的前项和，记数列的前项和为，就的最小值为.【答案】
4、【解析】分析：由题意第一求得，然后利用题意结合函数的性质确定最小值即可.详解：由题意结合，|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.以下用数学归纳法进行证明：当时，结论为成立的，假设当时，数列的通项公式为：，就，由题意可知：，结合假设有：，解得：， 综上可得数列的通项公式为正确的.据此可知：，利用等差数列前 n 项和公式可得：，就，结合对勾函数的性质可知，当或时，取得最小值，当时，当时，由于，据此可知的最小值为.|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.点睛：此题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式. 归纳推理为由部分到整体，由特别到一般的推理， 由归纳推理所得
5、的结论不肯定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越牢靠，它为一种发觉一般性规律的重要方法*例 2.设 Sn 为数列 a n 的前 n 项和，满意 Sn2an2 (n N )（1） 求的值，并由此猜想数列 a n 的通项公式 an；（2） 用数学归纳法证明（）中的猜想【答案】（ 1）；（ 2）见解析 .当 n 4 时， a1 a2 a3 a4 S42a42，a4 16.*由此猜想：(n N) (2)证明：当 n1 时， a1 2，猜想成立*假设 nk(k 1 且 kN) 时，猜想成立，即， 那么 n k 1 时，ak 1 Sk 1 Sk 2ak 1 2akak 1
6、=2ak，这说明 nk 1 时，猜想成立，由知猜想成立点睛： 数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不行少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉 .例 3已知数列满意：，.|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.（）试求数列， 的值；（）请猜想的通项公式，并运用数学归纳法证明之.【答案】（），.（），证明见解析 .由此猜想.下面用数学归纳法证明之：当时，结论成立；假设时，结论成立，即有， 就对于时，当时，结论成立 .|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.综上，可得对，成立点睛：运用数学归纳法证明数学问题的步骤及其需要留意的问题：1，第一步：归纳奠基（即验证时成
7、立）；其次步：归纳递推（即假设时成立，验证时成立）；3，两个条件缺一不行，在验证时成立时肯定要用到归纳假设时的结论，最终得到的形式应与前面的完全一样.例 4. 【2021 届浙江省温州市高三9 月一模】已知数列中，（）（1） 求证：；（2） 求证：为等差数列；（3） 设，记数列的前项和为，求证：【答案】 (1) 证明见解析； （ 2）证明见解析； （ 3）证明见解析 .【解析】 试题分析：（ 1）利用数学归纳法可证明； （ 2）化简，由可得为等差数列； （ 3）由（ 2）可得，从而可得，先证明，利用放缩法及等比数列求和公式可证结论 .|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.（2）由，得，所以，即，即，所以，数列为等差数列（3）由（ 2）知，因此，当时，
