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1、第四讲古典概型A组一选择题11（ 2021 天津卷）甲.乙两人下棋，两人下成和棋的概率为2 ，甲1获胜的概率为 3 ，就甲不输的概率为（）5A. 6B.25C.116D.3【答案】 A【解析】记事件 A 为：甲不输；事件 B 为: 甲.乙下成和棋；事件 C为：甲获胜，其中 B，C为互斥事件，所以P(A)=P(BC)1152362. （ 2021 北京卷）从甲.乙等 5 名学生中随机选出 2 人，就甲被选中的概率为（）A. 15B. 25C. 825D. 925【答案】 B【解析】设甲为 a 其他 4 名学生为 1，2， 3， 4；从 5 人中任选 2 人的可能有： a ，1 ，a ，2 ，a
2、，3 ，a ，4 ，1 ，2 ，1 ，3 ，1 ，4 ，2 ， 3 ，2 ， 4 ，3 ， 4 共 10 种可能；其中甲被选中有：a ，1 ，a 1，2 ，a ， 3 ，a ，4 共 4 种，所以概率为 P4 = 2 ；故105选 B.3(2021 全国卷 I) 如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长， 就称这 3 个数为一组勾股数， 从 1,2,3,4,5中任取 3 个不同的数，就这 3 个数构成一组勾股数的概率为 ()3111A 10B 5C 10D 20【答案】 C【解析】从 1,2,3,4,5中任取 3 个不同的数所有可能的结果有： 1,2,3 ，1,2,4 ， 1,2,5
3、 ，1,3,4 ，1,3,5 ， 1,4,5 ，2,3,4 ， 2,3,5 ，2,4,5 ，3,4,5 ，共有 10 种，其中勾股数只有 3,4,5 ， 1所以概率为 10. 故选 C4（ 2021 全国卷 III）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位为 M ， I , N 中的一个字母，第二位为 1,2,3,4,5中的一个数字，就小敏输入一次密码能够成功开机的概率为（）A. 8 15【答案】 CB. 18C. 15D. 30【解析】开机密码的试验结果可能有：( M ,1),( M ,2),(M ,3),( M ,4),(M ,5),( I ,1),( I ,2),(I ,3
4、),(I ,4),(I ,5),(N ,1),( N,2),(N,3),(N,4),(N,5)共 15 种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为115；故选 C5(2021 福建模拟 ) 已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%. 现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率： 先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数， 指定 1,2,3,4表示命中， 5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下20 组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730
5、113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为() A 0.35B0.25C 0.20D 0.15【答案】 B【解析】由题意知在 20 组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191.271.932.812.393，共 5 组随机数， 所以概率为51 0.25.204故选 B6(2021 太原二模 ) 记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量 a(m,n) 与向量 b(1,0) 的夹角为 ，就（0， ）的概率为 ()45517A 18B12C 2D 12【答案】 B【解析】法一：向量a( m, n) 共有 66 36( 个) ，其中满足向量a(m,n) 与向量 b(1,
6、0)的夹角（0,），即 nm的(m, n) 可根据 n 的具4体取值进行分类计数：第一类，当n 1 时， m有 5 个不同的取值； 第二类，当 n 2 时， m有 4 个不同的取值；第三类，当 n 3 时， m 有 3 个不同的取值；第四类，当 n 4 时， m有 2 个不同的取值；第五类，当 n 5 时，m有 1 个取值，因此满足向量 a(m, n) 与b(1,0) 的夹角（0,）的 (m, n) 共有 1 23 4 515( 个) ，所以所求概率为4P15 = 5 .3612法二：向量 a(m, n) 共有 66 36( 个) ，其中满足向量 a36 6(m, n) 与向量b(1,0) 的
7、夹角（0,），即 nm的向量 (m, n) 有4215( 个)（由于mn 的情况有 6 种， mn, mn 的情况相等）所以概率为故选 B.155 .36127(2021 合肥二模 ) 从 2 名男生和 2 名女生中任意选择两人在星期六.星期日参加某公益活动，每天一人，就星期六安排一名男生.星期日安排一名女生的概率为 ()15173B.12C.2D.12【答案】 A【解析】设 2 名男生记为A1，A2， 2 名女生记为 B1，B2，任意选A.择两人在星期六. 星期日参加某公益活动， 共有 A1A2，A1B1，A1B2，A2B1， A2B2，B1B2， A2A1， B1A1， B2A1，B1A2
8、 ，B2A2，B2B1 12 种情况，而星期六安排一名男生.星期日安排一名女生共有A1B1， A1B2，A2B1，A2B2 4 种情41况，所以概率为 P 12 3，故选 A.8. (2021济宁模拟 ) “序数”指每个数字比其左边的数字大的自然数( 如 1246), 在两位的“序数”中任取一个数比 36 大的概率为()A. 1 2B. 23C. 34D. 45【答案】 A.【解析】十位为 1 的两位的“序数” :8 个; 十位为 2 的:7 个,依此类推 : 十位分别为 3,4,5,6,7,8 的各有 6,5,4,3,2,1 个, 故两位的“序数”共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36个
9、, 比 36 大的有: 十位为 3 的:3 个; 十位为 4 的:5 个,依次类推 : 十位分别为 5,6,7,8的各有 4,3,2,1个, 所以比 36 大的两位的“序数”有 3+5+4+3+2+1=18(个), 所以所求概率 P二.填空题1813629. （ 2021 四川卷）从 2.3.8.9 任取两个不同的数值，分别记为 a.b，就 log a b 为整数的概率 =.【答案】 16【解析】从 2，3，8，9 中任取两个数记为 a,b 作为对数的底数与真数，就( a, b) 的所有可能 :(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8
10、,9),(9,2),(9,3),(9,8)共有 12 种，其中为整数的只有 log 2 83,log3 92 两个基本事件， 所以概率为P2112610(2021 江苏卷) 袋中有形状.大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球， 1 只红球， 2 只黄球从中一次随机摸出 2 只球，就这 2 只球颜色不同的概率为【答案】 56【解析】设白.红.黄 1.黄 2 分别记为 A.B.C1.C2，就从中一次摸出 2 只球所有可能的情况有： A，B，A,C 1 ，A， C2 ，B，C1 ，B，C2 ， C1， C2 ，共 6 种可能，其中 2 只球颜色相同的为： C1，5C2 仅一种；所以 2 只球颜色不
11、同的有 5 种，所以概率为 P.611. (2021洛阳统考 ) 将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，就直线 ax by 0 与圆(x 2) 2y2 2 有公共点的概率为 【答案】 71222【解析】将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b) 有(1,1) ，(1,2) ，(1,3) ， (6,6) ，共 36 种，其中满足直线 ax2by0 与圆(x 2) 2 y22 有公共点，即满足2aa b22， a b的数组 (a ，b) 有(1,1) ，(1,2) ， (1,3) ， (1,4) ， (6,6) ，共 6 5 432 121 种，所以概率等于三解答题2171236
12、 .12(2021 安徽卷) 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工根据这 50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图 ( 如图所示 ) ，其中样本数据分组区间为：40,50) ，50,60) ， 80 ，90) ，90,100 (1) 求频率分布直方图中 a 的值；(2) 估计该企业的职工对该部门评分不低于80 的概率；(3) 从评分在 40,60) 的受访职工中， 随机抽取 2 人，求此 2 人的评分都在40,50) 的概率【解析】(1) 因为 (0.004 a 0.018 0.022 20.028) 10 1，所以 a 0.006.(2) 由所给频率分布
13、直方图知， 50 名受访职工评分不低于 80 的频率为：(0.022 0.018) 10 0.4 ，所以该企业职工对该部门评分不低于80 的概率的估计值为 0.4.(3) 受访职工中评分在 50,60)的有： 500.006 10 3( 人) ，记为A1， A2， A3；受访职工中评分在 40,50) 的有： 500.004 10 2( 人) ，记为 B1 ， B2.从这 5 名受访职工中随机抽取2 人，所有可能的结果为：A 1， A2 ，A 1， A3 ，A 1， B1 ，A1，B2 ，A 2， A3 ，A 2， B1 ，A 2， B2 ，A 3， B1 ，A 3， B2 ，B 1， B2 共有 10 种，其中抽取 2 人的评分都在 40,50)的结果有 B 1 ，B2 仅 1
