高中数学函数图像知识清单+典型例题解析

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1、第 1 页共 22 页专题 3.7函数的图象【考纲解读与核心素养】1. 会运用函数图象理解和研究函数的性质.2培养学生的数学运算、数据分析、直观想象等核心数学素养.3. 高考预测：（1）函数图象的辨识（2）函数图象的变换（3）主要有由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决不等式、方程等问题常常与导数结合考查.4.备考重点（1）基本初等函数的图象（2）两图象交点、函数性质、方程解的个数、不等式的解集等方面的应用.【知识清单】1利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)

2、；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2利用图象变换法作函数的图象第 2 页共 22 页(1)平移变换(2)对称变换yf(x)的图象关于x轴对称yf(x)的图象；yf(x)的图象关于y轴对称yf(x)的图象；yf(x)的图象关于原点对称yf(x)的图象；yax(a0，且a1)的图象关于直线yx对称ylogax(a0，且a1)的图象.(3)伸缩变换yf(x)纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a0）倍yf(ax).yf(x) 横坐标不变各点纵坐标变为原来的A（A0）倍yAf(x).(4)翻转变换第 3 页共 22 页yf(x)的图象x轴下方

3、部分翻折到上方x轴及上方部分不变y|f(x)|的图象；yf(x)的图象y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉，右侧不变yf(|x|)的图象.【典例剖析】高频考点一：作图【典例 1】（2020全国高一）已知( )f x是定义在R上的奇函数，且当0 x 时，( )(2)f xx x（1）在给定坐标系下画出( )f x的图像，并写出( )f x的单调区间.（2）求出( )f x的解析式.【答案】（1）图像见详解，单调递减区间为(1,1，单调递增区间为(, 1 ，(1,)；（2）222 ,0( )2 ,0 xx xf xxx x【解析】（1）( )f x的图像如图所示：第 4 页共 22 页

4、可得其单调递减区间为(1,1，单调递增区间为(, 1 ，(1,)；（2）当0 x 时，( )(2)f xx x，且( )f x为奇函数，可得当0 x时，2( )()(2)(2)2f xfxxxxxxx 故可得( )f x的解析式为：222 ,0( )2 ,0 xx xf xxx x.【典例 2】(2018 年全国卷理)设函数（1）画出的图象；（2）当，求的最小值【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）的图象如图所示第 5 页共 22 页（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为【规律方法】函数图象的画法(1

5、)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象【变式探究】1.对a、bR，记,max,a aba bb ab，函数2( )max |,24 ()f xxxxxR（1）求(0)f，( 4)f （2）写出函数( )f x的解析式，并作出图像第 6 页共 22 页（3）若关于x的方程( )f xm有且仅有3个不等的解，求实数m的取值范围（只需写出结论）【答案】见解析【解析】解：（1）,max,a aba bb ab，函数2( )max |,24f xxxx，

6、(0)max 0,44f，( 4)max 4, 44f （2）（3）5m 或1712m2.（2020全国高一）在学习函数时，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质运用函数解决问题“的学习过程，在画函数图象时，我们通过列表、描点、连线的方法画出了所学的函数图象同时，我们也学习过绝对值的意义00a aaa a结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数1ykxb 中，当0 x 时，2y ；当1x 时，3y 第 7 页共 22 页（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出此函数的图象并写出这个函数的两条性质；（3）在图中作出函数3yx 的图象，结合你所

7、画的函数图象，直接写出不等式31kxbx 的解集【答案】（1）13yx；（2）图象、性质见解析；（3）3,01,3【解析】（1）将点0, 2、1, 3的坐标代入函数1ykxb 的解析式，得1213bkb ，解得13kb ,所以，函数的解析式为13yx；（2）图象如下：函数13yx的图象关于直线1x 对称，该函数的单调递减区间为,1，单调递增区间为1,，最小值为3；第 8 页共 22 页（3）图象如下，观察图象可得不等式313xx 的解集为：3,01,3【典例 3】画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)2x的图象经过怎样的变换得到的.(1)y2x1；(2)y2x1；(3)y2x；

8、(4)y2|x|；(5)y|2x1|；(6)y2x.【答案】见解析【解析】如图所示(1)y2x1的图象是由y2x的图象向右平移 1 个单位得到的；(2)y2x1 的图象是由y2x的图象向上平移 1 个单位得到的；第 9 页共 22 页(3)y2x的图象与y2x的图象关于x轴对称；(4)y2|x|的图象是由y2x的y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的；(5)y|2x1|的图象是由y2x的图象向下平移 1 个单位，然后将其x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的；(6)y2x的图象与y2x的图象关于原点对称【典例 4】分别画出下列函数的图象： 111221(31|)|xylg xyf xlg x

9、；【答案】见解析【解析】 (1)首先作出ylgx的图象C1，然后将C1向右平移 1 个单位，得到ylg(x1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y|lg(x1)|.如图 1 所示(实线部分).(2)y2x11 的图象可由y2x的图象向左平移 1 个单位，得y2x1的图象，再向下平移一个单位得到，如图 2 所示.(3) 第一步作 ylgx 的图像第二步将 ylgx 的图像沿 y 轴对折后与原图像，同为 ylg|x|的图像第三步将 ylg|x|的图像向右平移一个单位，得 ylg|x1|的图像第四步将 ylg|x1|的图像在 x 轴下方部分沿 x 轴向上

10、翻折，得 1|f xlg x的图像，如图第 10 页共 22 页3【规律方法】1平移变换当m0 时，yf(xm)的图象可以由yf(x)的图象向右平移m个单位得到；yf(xm)的图象可以由yf(x)的图象向左平移m个单位得到；yf(x)m的图象可以由yf(x)的图象向上平移m个单位得到；yf(x)m的图象可以由yf(x)的图象向下平移m个单位得到2对称(翻折)变换yf(|x|)的图象可以将yf(x)的图象位于y轴右侧和y轴上的部分不变，原y轴左侧部分去掉，画出y轴右侧部分关于y轴对称的图形而得到y|f(x)|的图象可将yf(x)的图象位于y轴上方的部分不变，而将位于y轴下方的部分翻折到y轴上

11、方得到yf(x)的图象可将yf(x)的图象关于x轴对称而得到yf(x)的图象可由yf(x)的图象关于y轴对称得到【变式探究】1.（2020上海高一课时练习）函数12yx的图象可由12yx 的图象经过下列怎样的变换第 11 页共 22 页得到()A先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位B先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位C先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位D先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位【答案】B【解析】12yx 的图象先向左平移 2 个单位，得到1yx 的图像；再向下平移 1 个单位得到yx的图像.故选：B.2 （2020上海高一课时练习）已知

13、：识图【典例 5】（2014浙江高考真题（理））在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（）ABCD【答案】D【解析】函数，与，答案 A 没有幂函数图像，答案 B.中，中，不符合，答案 C中，中，不符合，答案 D中，中，符合，故选 D.【典例 6】（2019全国高考真题（理））函数3222xxxy在6,6的图像大致为第 13 页共 22 页ABCD【答案】B【解析】设32( )22xxxyf x，则332()2()( )2222xxxxxxfxf x ，所以( )f x是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项 C又3442 4(4)0,22f排除选项 D；3662 6(6)722f，排

14、除选项 A，故选B【典例 7】（2018 年浙江卷）函数y=sin2x的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】D第 14 页共 22 页【总结提升】识图的三种常用方法1抓住函数的性质，定性分析：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复2抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题3根据实际背景、图形判断函数图象的方法：(1)根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；(2)根据自

15、变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)【变式探究】1.（2018莆田第九中学高三高考模拟（文））函数(且)与函数的图像关于直线对称，则函数与二次函数在同一坐标系内的图像可能是（）ABCD【答案】A【解析】第 15 页共 22 页因为函数(且)与函数的图像关于直线对称，所以，在选项 A 中，对数函数的图像单调递增，所以 a1,所以 a-10,所以二次函数的抛物线开口向上，抛物线的对称轴为所以选项 A 是正确的，故答案为：A.2.（2019山东济南外国语学校高考模拟（文））若函数在 R 上为减函数，则函数的图象可以是()ABCD【答案】D【解析】由函数f（x）axax

16、（a0 且a1）在 R 上为减函数，故 0a1函数yloga（|x|1）是偶函数，定义域为x1 或x1，函数yloga（|x|1）的图象，x1 时是把函数ylogax的图象向右平移 1 个单位得到的，故选：D3. （2010山东省高考真题（文））函数22xyx的图象大致是（）第 16 页共 22 页ABCD【答案】A【解析】因为 2、4 是函数的零点，所以排除 B、C；因为1x 时0y ，所以排除 D,故选 A高频考点三：用图【典例 8】（山东省 2018 年普通高校招生（春季））奇函数的局部图像如图所示，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为奇函数，所以,因为0，所以,即，选 A.【典例 9】（2019北京高三高考模拟（文））当 x0，1时，下列关于函数 y=2(1)mx的图象与yxm的图象交点个数说法正确的是（）A当m0,1时，有两个交点B当m1,2时，没有交点C当m2,3时，有且只有一个交点 D当m3,时，有两个交点第 17 页共 22 页【答案】B【解析】设 f（x）=2(1)mx，g（x）=xm，其中 x0，1A若 m=0，则( )1f x 与(

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