八年级数学暑假专题 因式分解技巧和方法 湘教版【本讲训练信息 】一. 教学内容：暑假专题——因式分解技巧和方法［教学目标］1. 敏捷把握教材所介绍的二种方法：提公因式法和公式法；2. 娴熟运用提公因式法和公因式法的同时，再介绍并把握其它的因式分解的方法，从而提高解题才能；二. 重点，难点：重点：因式分解的方法和技巧； 难点：因式分解方法的敏捷运用；|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.三. 因式分解的技巧：1. 首选提取公因式法：即第一观看多项式中各项有没有公因式，如有，就先提取公因式， 再考虑其他方法；2. 当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数；（ 1）当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式［ a2－b2 ＝（ a＋ b）（ a－b）］；（ 2）当项数为三项时，可考虑完全平方公式，十字相乘法，求根公式法，配方法；（ 3）当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法；a. 当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组；b. 当项数为四项以上时，可按次数分组，即可将次数相同的项各分为一组；3. 以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑绽开后分解或拆（添）项后再分解；四. 因式分解的方法：（一）提公因式法3方法介绍： 假如一个多项式的各项都含有公因式， 那么就可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的形式；例 1. 分解因式： xx2 y xy分析： 此多项式各项都有公因式 x，因此可提取公因式 x；解： 原式 x x 2xy y（二）应用公式法方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，假如为两项的考虑平方差公式，假如为三项的考虑用完全平方公式；2 2例 2. 分解因式： x 2y x y分析： 此多项式可看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解；解： 原式 x2y x y x2y x yx 2y x y x 3y 2x y2y x y2例 3. 分解因式： a4ab4b2分析： 此多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公式分解；2解： 原式 a 2b（三）分组分解法方法介绍： 分组分解法为因式分解中的重要方法和技巧之一， 分组的目的为为提取公因式， 应用乘法公式或其它方法制造条件， 以便顺当地达到分解因式的目的； 下面介绍八种常见的思路：1. 按公因式分组：2例 4. 分解因式： m mn mp np|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.分析： 此题有四项，考虑将它们分组，其中第 1，2 项有公因式 m，第 3，4 项有公因式p，可将它们分别分为一组；2解： 原式 m mn mp npm m n p m n m n m p2. 按系数特点分组：例 5. a3 2 a2 a 2分析： 由观看发觉，由系数特点第一，二项和第三，四项的系数比为 1： 2，所以可考虑将第一，二项和第三，四项分为一组，或第一，三项和其次，四项分为一组；3 2解： 原式 a 2a a 2a2 a 2 a 2a 2 a2 1a 2 a 1 a 1或原式 a3 a 2a2 2a a 2 1 2 a2 1a 2 1 a 2a 1 a 1 a 23. 按字母次数特点分组：2 2例 6. 分解因式： 4a b 4a 2b分析： 此题有一次项，也有二次项，可将一次项分为一组，二次项分为一组；22解： 原式 4a b 4a 2 b2a b2a b2a b2a b2 2a b24. 按公式特点分组：例 7. 分解因式： 9 x 22xy y 2分析： 此题可将第 2，3，4 项分为一组，运用完全平方公式，再从整体上运用平方差公式；解： 原式 9 x2 2 xy y 2|精.|品.|可.|编.|辑.|学.32 x y 2|习.|资.|料.3 x y3 x y3 x y3 x y5. 拆项分组：例 8. 分解因式： x2y2 2x4y 3分析： 为了便于运用乘法公式， 可将 - 3 拆成- 4＋ 1，再适当分组， 达到因式分解的目的；解： 原式 x22 x 1y 2 4 y 42 2x 1 y 2x 1 y 2x 1 y 2 xx 1 y 21 y 2x y 1 x y 36. 添项分组：5例 9. 分解因式： x x 122分析： 依据题目特点可添上 x x 项后，再分组，就能运用公式分解；解： 原式 x5 x 2 x 2 x 1x 2 x 3x 2 x1 x 21 x 2 xx 11 x 2 x 1x2 xx2 x1 x 21 x 3x 1 1x 2 17. 换元分组：例 10. 分解因式： x y2xy x y 22xy 1分析： 观看代数式中的 x＋ y， xy 可考虑用换元法，使之结构简化，再分组；解： 设x y m， xy n，就原式 m22n m 2 n 1m 2 2mn2 m 4 n n22 n 1|精.|品.m 2 2 mn n222 m 2n 1|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.m n 2 m n 12m n 12x y xy 12xy x y 12x y 1 y 12y 1 x 12 2y 1 x 18. 按主元分组：例 11. 分解因式： x32a 1 x 2a 2 2a1 x a 2 1分析： 题中的多项式为关于 x 的三项式排列的， 按其结构分解有肯定的难度， 可考虑换个角度，选定 a 为主元，即整理为关于 a 的多项式；解： 原式 x1 a22 x 22x a x 3x 2 x 1x 1 a22x x1 a x 2 x 1 x 1x 1 a2x 1 a22ax x 2 12ax x 2 122x 1 a x 1x 1 a x 1 a x 1（四）利用特别值法方法介绍：比如说将 2 或 10 这些特别值代入字母，比如说 x，求出一个数 P，然后将数P 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因式写成 2 或 10 的和与差的形式，将 2 或 10 仍原成 x，即可得因式分解的式子；3例 12. 分解因式： x9x 223x 15解： 令 x＝ 2，就原式 8 36 46 15 105 3 5 7将 105 分解成 3 个质因数的积，即 105＝ 35 7观看到多项式中最高项的系数为 1，而 3，5，7 分别为 x＋ 1，x＋ 3， x＋ 5，在 x＝2 时的值，就原式＝（ x＋ 1）（x ＋ 3）（ x＋5）（五）待定系数法方法介绍： 第一判定出分解因式的形式， 然后设出相应整式的字母系数， 求出字母系数， 从而把多项式因式分解；4 3 2|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.例 13. 分解因式： x x 5x 6x 44 3 2分析： 观看这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式；解： 设x x 5x 6x 4x 2 ax b x 2x 4 a c x 3cx dac b d x2ad bc x bd利用恒等式的性质可得：a c 1ac b d 5 ad bc 6bd 4a 1b 1解之得：c 2d 4∴原式 x2x 1 x22 x 4（六）十字相乘法：方法介绍：对于 mx2＋ px＋q 形式的多项式，假如 ab＝m，cd＝ q 且 ac＋ bd＝ p，就多项式可因式分解为： （ax＋ d）（ bx＋ c）；2例 14. 分解因式： 7x 19x 6分析： 这为一个三项式，它不符合完全平方公式，因此可考虑用十字相乘法分解因式：7 21 3解： 原式 7x 2 x 3（七）双十字相乘法：方法介绍： 可将其中的可用十字相乘法的三项放在一起， 先分解因式后， 然后再与剩下的项再用十字相乘法；例 15. 分解因式： a 6a11b 4b 3b 1 2分析： 可先将其先去括号后的项 6a2＋ 11ab＋ 3b2 应用十字相乘法可分为（ 2a＋ 3b）（ 3a＋ b）；解： 原式 6a 211ab3b 24a b 2|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.2a 2a（八）巧用换元法：3b 3a b3b 2 3a b4a b 21方法介绍：对于较复杂的一些多项式，通过适当的换元，可达到减元降次，化繁为简的目的；1. 取相同部分换元例 16. 分解因式： m 25m 3 m 25m 2 36分析： 如将上式绽开，得到一个四次多项式，更加难分解了，如将 m2－ 5m 看作一个整体，这样乘积得到的式子就简化了；解： 设m2 5m y，就原式 y 3 y 2 36y 2 y 42y 7 y 6m 2 5m7 m 25m 6m 2 5m7 m 6 m 12. 取部分式子换元例 17. 分解因式： 1x x 2x3 2 x 3分析： 观看题目特点，可考虑设 1＋x＋ x 2＝ y；解： 设y1 x x 2 ，就原式 y x 3 2 x 32 3y 2 yxy 2 2 yx 36 3x xx 3 x 3 1y 2 2 yx 3y 2 2 yx 3y y 2 x3x 3 xx 3 xx 3 x1 x 2 x 11 y1y y x 4 x 3x 2 x1 x 4x3 x 2 x 13. 取倒数换元例 18. 分解因。
