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(完整版)求椭圆离心率范围的常见题型及解析最新(精华版)

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求椭圆离心率范围的常见题型解析解题关键 :挖掘题中的隐含条件,构造关于离心率 e 的不等式 .一、利用曲线的范围,建立不等关系5x2例 1 已知椭圆a2y2b2 1(a b0) 右顶为 A, 点 P 在椭圆上, O为坐标原点,且 OP垂直于 PA,求椭圆的离心率 e 的取值范围 .yF1 OPF2 A xx2 y2例 2 已知椭圆a2 b2 1(a b0) 的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0),若椭圆上存在一点 P 使 a c,则该椭圆的离心率的取值范围为 2 1,1 .sin PF1F2 sin PF2F1二、利用曲线的平面几何性质,建立不等关系例 3 已知F1、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 的点 P 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )A. (0,1) B.1(0, ]2C. (0, 2 )2D. [ 2 ,1)2yF1 O F2 x三、利用点与 椭圆 的位置关系,建立不等关系x2 y2例 4 已知 ABC 的顶点 B 为椭圆 1 ( ab 0) 短轴的一个端点, 另两个顶点也在a2 b2椭圆上,若 ABC 的重心恰好为椭圆的一个焦点 F (c,0) , 求椭圆离心率的范围 .yBCO F M x A四、利用函数的值域,建立不等关系x 2 y 2例 5 椭圆 1 (a b0) 与直线 xy 1 0 相交于 A、B 两点,且 OA OB0 ( Oa 2 b 2为原点),若椭圆长轴长的取值范围为5 , 6,求椭圆离心率的范围 .五、利用均值不等式,建立不等关系 .例 6 已知 F1 、F2 是椭圆的两个焦点, P 为椭圆上一点, ∠ F1 PF2=60 .求椭圆离心率的范围;x2 y2解 设椭圆方程为a2+ b2= 1 (a>b>0) ,|PF1 |= m, |PF2 |= n,则 m+ n= 2a.在△PF1F2 中,由余弦定理可知,4c2= m2+ n2- 2mncos 60 =(m + n)2- 3mn2 2 m+ n 22 2 2= 4a - 3mn≥ 4a - 3 2= 4a - 3a = ac2 1 12(当且仅当 m= n 时取等号 ). ∴ a2≥ 4,即 e≥ .又 0

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