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1、. 整理文本 圆中常见辅助线的做法 一遇到弦时（解决有关弦的问题时） 1.常常添加弦心距， 或作垂直于弦的半径 （或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：利用垂径定理； 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形， 根据勾股定理求有关量。 例：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于C、 D 二点 .求证：AC = BD 证明 :过 O 作 OEAB 于 E O 为圆心， OE AB AE = BE CE = DE AC = BD 练习：如图， AB 为 O 的弦， P 是 AB 上的一点， AB = 10cm， PA =
2、4cm. 求 O 的半径 . P O BA 2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角. 例：如图，已知AB 是 O 的直径， M、N 分别是AO 、BO 的中点， CMAB,DN AB,求 证： ? ACBD 证明： （一）连结OC、OD M、N 分别是 AO 、BO 的中点 OM = 1 2 AO、ON = 1 2 BO OA = OB OM = ON CMOA、DN OB、OC = OD RtCOM RtDON COA = DOB ? ACBD （二）连结AC、OC、OD 、BD M、N 分别是 AO 、BO 的中点 AC = OC BD = OD OC = OD AC =
3、 BD ? ACBD O EDC BA ONM DC B A | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. . 整理文本 3. 有弦中点时常连弦心距 例：如图， 已知 M、N 分别是 O 的弦 AB、CD 的中点 ,AB = CD ，求证： AMN = CNM 证明：连结OM、 ON O 为圆心， M、N 分别是弦AB、CD 的中点 OM AB ON CD AB = CD OM = ON OMN = ONM AMN = 90 o OMN CNM = 90 o O
4、NM AMN = CNM 4. 证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距. 例：如图，已知O1与 O2为等圆， P 为 O1、O2的中点，过P 的直线分别交O1、 O2 于 A、C、D、B.求证： AC = BD 证明：过 O1作 O1MAB 于 M,过 O2作 O2NAB 于 N ，则 O1MO2N 11 22 O MO P O NO P O1P = O2P O1M = O2N AC = BD 二.有弧中点 （或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助 线的方法： 连结过弧中点的半径 连结等弧所对的弦 连结等弧所对的圆心角 例：如图，已知D、E 分别为半径OA、OB 的中点， C 为弧 AB 的中点，
5、求证：CD = CE 证明：连结OC C 为弧 AB 的中点 ? ABBC AOC = BOC D、E 分别为 OA 、OB 的中点，且AO = BO OD = OE = 1 2 AO = 1 2 BO 又 OC = OC ODC OEC CD = CE 三. 有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题. 例：如图， AB 为 O 的直径， AC 为弦， P 为 AC 延长线上一点，且AC = PC,PB 的延长线 交 O 于 D，求证： AC = DC 证明：连结AD AB 为 O 的直径 ADP = 90 o O N M D C B A P O2 O1 N M D C
6、B A O E D C BA P O D C B A | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. . 整理文本 AC = PC AC = CD = 1 2 AP 例（2005 年自贡市）如图2，P 是 O 的弦CB 延长线上一点，点A 在 O 上，且 BAPC。求证： PA 是 O 的切线。 证明： 作 O 的直径 AD ，连 BD ，则 CDABD,90即DBAD90 CBAD90 CPAB BADPAB90即AP AD PA 为 O 的切线。 四遇到 90
7、度的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 练习：如图，在Rt ABC 中， BCA = 90 o ,以 BC 为直径的 O 交 AB 于 E，D 为 AC 中点， 连结 BD 交 O 于 F.求证： BCCF BEEF 五.有等弧时常作辅助线有以下几种： 作等弧所对的弦 作等弧所对的圆心角 作等弧所对的圆周角 练习： 1.如图， O 的直径 AB 垂直于弦CD，交点为E，F 为 DC 延长线上一点，连结AF 交 O 于 M.求证： AMD = FMC(提示：连结 BM) 2.如图， ABC 内接于O， D、 E 在 BC 边上， 且 BD = C
8、E ， 1 =2，求证： AB = AC 2题图 G O F ED CB A 2 1 1题图 F M O E D C BA | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. . 整理文本 （提示如图） 六.有弦中点时，常构造三角形中位线. 例：已知，如图，在O 中， ABCD， OEBC 于 E，求证： OE = 1 2 AD 证明：作直径CF，连结 DF、 BF CF 为 O 的直径 CDFD 又 CDAB ABDF ? ADBF AD = BF OE BC O
9、为圆心CO = FO CE = BE OE = 1 2 BF OE = 1 2 AD 七.圆上有四点时，常构造圆内接四边形. 例：如图， ABC 内接于 O，直线 AD 平分 FAC，交 O 于 E，交 BC 的延长线于D， 求证： ABAC = AD AE 证明：连结BE 1 =3 2 =1 3 =2 四边形ACBE 为圆内接四边形 ACD = E ABE ADC AEAB ACAD ABAC = AD AE 八.两圆相交时，常连结两圆的公共弦 例：如图， O1与 O2相交于 A、B，过 A 的直线分别交O1、 O2于 C、D，过 B 的直 线分别交 O1、 O2于 E、F.求证： CE D
10、F 证明：连结AB 四边形为圆内接四边形 ABF = C 同理可证：ABE = D O F E D C B A 3 2 1 O F E D C B A O2 O1 F E D C B A | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. . 整理文本 ABF ABE = 180 o C D = 180 o CEDF 九.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法： 当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径， 再证明所作 半径与这条直线垂直即可.
11、 如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的 长度等于半径的长即可. 例 1：如图， P为 O 外一点，以OP 为直径作圆交O 于 A、B 两点，连结PA、PB. 求证： PA、PB 为 O 的切线 证明：连结OA PO 为直径 PAO = 90 o OAPA OA 为 O 的半径 PA 为 O 的切线 同理： PB 也为 O 的切线 例 2：如图，同心圆O，大圆的弦AB = CD，且 AB 是小圆的切线，切点为E，求证： CD 是小圆的切线 证明：连结OE，过 O 作 OFCD 于 F OE 为半径， AB 为小圆的切线 OE AB OFCD, AB = CD O
12、F = OE CD 为小圆的切线 练习：如图，等腰ABC，以腰 AB 为直径作 O 交底边 BC 于 P，PEAC 于 E, 求证： PE 是 O 的切线 十.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题. 例：如图，在RtABC 中， C = 90 o， AC = 12 ，BC = 9，D 是 AB 上一点，以 BD 为 直径的 O 切 AC 于 E，求 AD 长. 解：连结 OE ，则 OE AC BC AC OEBC OEAO BCAB 在 RtABC 中， AB = 2222 12915ACBC 15 915 OEABOBOE AB O F E D C BA PO B
13、 A P O E C B A | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. . 整理文本 OE = OB = 45 8 BD = 2OB = 45 4 AD = AB DB = 15 45 4 = 15 4 答： AD 的长为 15 4 . 练习：如图，O 的半径 OA OB，点 P 在 OB 的延长线上，连结AP 交 O 于 D，过 D 作 O 的切线 CE 交 OP 于 C，求证： PC = CD 十一 遇到两相交切线时（切线长） 常常连结切点和圆心、连结圆
14、心和圆外的一点、连结两切点。 作用：据切线长及其它性质，可得到： 角、线段的等量关系；垂直关系；全等、相似三角形。 十二遇到三角形的内切圆时 连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。 作用：利用内心的性质，可得： 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 内心到三角形三条边的距离相等。 在处理内心的问题时， 常需连结顶点与内心， 以便利用内切圆的圆心是三角 形内角平分线交点这一性质。 O E D C B A P O E D C B A | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料.
