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1、第 1 页，共 14 页 2020 年北京市海淀区高考数学一模试卷 含详细解析 一、选择题（本大题共10 小题，共 40.0 分） 1.在复平面内，复数?(2 - ?) 对应的点位于 () A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2.已知集合 ?= ?|0 ? 0)的离心率为 5 ，则 b的值为 () A. 1B. 2C. 3D. 4 4.已知实数a，b，c 在数轴上对应的点如图所示，则下 列式子中正确的是 () A. ?- ? ? + ?B. ? 2 ? ? D. |?|? ? 0)的离心率为 3 2 ，? 1(-?, 0)， ?2(?,0)， ?(0,?) ，? 1?2的
2、面积为 2 () 求椭圆 C的方程； () 设 M 是椭圆 C 上一点，且不与顶点重合，若直线?1? 与直线 ?2?交于点 P， 直线 ? 1?与直线 ?2? 交于点 ?. 求证： ? 为等腰三角形 21.已知数列 ? ?是由正整数组成的无穷数列若存在常数 ? ?，使得 ? 2?-1 + ?2?= ?对任意的 ? ?成立，则称数列 ? ?具有性质 ?(?) () 分别判断下列数列? ?是否具有性质 ?(2)；(直接写出结论 ) ? ?= 1； ?= 2 ? () 若数列 ?满足 ?+1 ?(?= 1,2，3， )，求证：“数列?具有性质 ?(2)”是“数列 ? ?为常数列”的充分必要条件； (
3、) 已知数列 ? ?中?1= 1，且 ?+1 ?(?= 1,2，3，).若数列 ?具有性质 ?(4)，求数列 ? ?的通项公式 第 5 页，共 14 页 答案和解析 1.【答案】 A 【解析】 解： 复数 ?= ?(2 - ?) = -? 2 + 2? = 1 + 2? 复数对应的点的坐标是(1,2) 这个点在第一象限， 故选： A 首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部 写出对应的点的坐标，看出所在的象限 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看 出实部和虚部的值 2.【答案】 B 【解析】 解：?= ?|0 ? 3，?=
4、 1， 集合 B 可以是 1,3 故选： B 根据 ?= ?|0 ? 0)的离心率为 5， 可得 ? 2+1 1 = 5，解得 ?= 2， 故选： B 利用双曲线的离心率公式，列出方程，求解b 即可 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 4.【答案】 D 【解析】 解： (法1)根据数轴可得? ? ? |?| |?| ， 对于 A：因为 ? ? ，? 0，所以 ? + ? ? ，则 ? + ? ? ? - ? ，即 ? + ? ? -? ，故 A 错误； 对于 B：因为 ? ? ? |?| |?| ，所以 ? 2 ? 2 ? 2，且 ?2 ?，所以 ? 2 ? 2 ?，则
5、? 2 ?，故 B错误； 对于 C：因为 ? ? 1 ? ，则 ? ? |?| ，且 ? 0，所以 |?|? |?|?，故 D 正确， ( 法2)不妨令 ? = -5 ，?= -4 ，?= -1 ， 则 ? + ?= -6 ? = 4，故 B错误； ? ?= 5 4 ? ?= 5，故 C 错误； 故选： D 法 1：根据数轴得到? ? ? |?| |?| ，结合不等式基本性质逐一进行判 断即可； 法 2：用特值法带入验证即可 本题考查不等式的相关应用，考查合情推理，属于中档题 第 6 页，共 14 页 5.【答案】 C 【解析】 解：由题意得：? ?+1= (-2) ? ? 6 ? ? 2?-
6、6 ， 令 2? -6 = 0得?= 3， 故常数项为 ? 4 = (-2) 3? 6 3 = -160 故选： C 先求出通项，然后令x 的指数为零即可 本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题 6.【答案】 C 【解析】 解：根据条件可知圆周长= 2? ，因为 ? = 3 2 ?= 3 4 2? ，故可得 ?位置如 图： ? ? ?= 90 ，则 ? ? ?是等腰直角三角形， 则 ?到?的距离 ?= 2 2 ? = 2 2 ， 故选： C 根据条件可得圆旋转了 3 4个圆，作图可得到 ?是等腰直角三角形，进而可求得? 到 ?的距离 本题考查点到直线的距离，考查圆旋转的长度
7、求法，数中档题 7.【答案】 D 【解析】 解：根据题意，函数?(?) = |?- ?|与函数 ?(?) 的图象关于y轴对称若 ?(?) 在区间 (1,2) 内单调递减， 则 ?(?) 在区间 (-2,-1) 上递增， 而 ?(?) = |?- ?| = ? - ?,? ? -? + ?,? ? ，在区间 (?,+)上为增函数， 则有 ?-2 ，即 m的取值范围为(- ,-2 ； 故选： D 根据题意，分析可得?(?) 在区间 (-2,-1) 上递增，将 ?(?) 写成分段函数的形式，分析 可得 ?(?) 在区间 (?,+)上为增函数，据此可得m 的取值范围 本题考查函数的单调性，涉及函数之间
8、的对称性、不等式的解法，属于基础题 8.【答案】 C 第 7 页，共 14 页 【解析】 解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为四棱锥体， 如图所示： 所以最长的棱长? = 2 2 + 22+ 2 2 = 2 3 故选： C 首先把三视图转换为直观图，进一步求出最大 棱长 本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间 的转换，几何体的棱长的求法和应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 9.【答案】 A 【解析】 解：“ ? ，? ? ?，? ?+?= ?”，取 ?= ? ，? = 1，则 ? ?+1= 2?， ? ?为等比数列，充分性成立 若? ?为等比数列，则
9、 ? ?+?= 2 ? ?+?-1，? ?= 2 2 ? ?+?-2，只有 ?= 2时才能成 立，必要性不成立 数列 ?满足 ?1= 2，则“ ? ，? ? ?，? ?+?= ?”是“ ?为等比数列”的充分 不必要条件 故选： A 利用等比数列的定义、通项公式即可判断出结论 本题考查了等差数列的通项公式，充分必要条件的判断，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题 10.【答案】 B 【解析】 解：根据题意，? 5= 2 25 + 1 = 232+ 1 232= 10 ?2 32 = 10 32?2 10 320.3010 = 10 9.632 = 10 0.632 10 9， 因为 1 10
10、0.632 10，所以 ?5的位数是 10 故选： B 根据所给定义表示出? 5= 10 9.632 10 9，进而即可判断出其位数 本题考查指对数运算，考查学生阅读理解能力，属于中档题 11.【答案】 ?= -1 【解析】 解：把点 ?(1,2)代入抛物线方程有，4 = 2? ， ?= 2， 抛物线的准线方程为?= - ? 2 = -1 故答案为： ?= -1 把点 P 的坐标代入抛物线的方程可求得p，而准线方程为?= - ? 2 ，从而得解 本题考查抛物线的方程、准线方程等，考查学生的运算能力，属于基础题 12.【答案】 24 【解析】 解：设等差数列? ?的公差为 d，? 1 = 3，?
11、 2+ ?5= 16， 2 3 + 5?= 16，解得 ?= 2 则数列 ? ?的前 4项的和 = 4 3 + 43 2 2 = 24 故答案为： 24 利用等差数列的通项公式求和公式即可得出 本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础 第 8 页，共 14 页 题 13.【答案】 0 【解析】 解：因为非零向量?，? 满足| ? ? | = | ? - ? ? |， ? 2 = ? 2 -2? ? ? + ? 2 ? ? ? ? = 1 2 ? ? 2； 则 (? - 1 2 ? ? ) ? ? = ? ? ? ? - 1 2 ? ? 2 = 0 故答案为： 0
12、 把所给条件平方整理得到? ? = 1 2 ? ? 2；代入数量积即可求解结论 本题考查向量的数量积以及模长的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力 14.【答案】 4 2 2 6 【解析】 解：如图； 因为在 ?中， ? = 4 3，? = ? 4，点 D 在边 BC 上， ?= 2? 3 ，? = 2， 所以： ? sin ? = ? sin ? ? = 4 3sin? 4 sin ? 3 = 4 2； ? ? = 1 2 ? ? ?sin ?= 1 2 4 2 2 sin 2? 3 = 2 6； 故答案为： 4 2，2 6 先根据正弦定理求得AD，进而求得三角形的面积 本题主要考查正
13、弦定理以及三角形的面积，属于基础题目 15.【答案】 【解析】 解：由题可得函数?(?) = 3 + (?- 3) 2 ,0 ? 6 3 + (?- 9) 2,6 ? 12 3 + (?- 15) 2,12 ? 18 ，作出图象如图： 则当点 P 与?顶点重合时，即? = 0，6，12，18 时， ?(?) 取得最大值12，故正 确； 又 ?(?) = ?(18- ?) ，所以函数 ?(?) 的对称轴为 ?= 9，故 正确； 由图象可得，函数?(?) 图象与 ?= ? + 3的交点个数最多为6 个，故方程最多有6 个实 根，故 错误 故答案为： 写出函数解析式并作出图象，数形结合进行逐一分析
14、第 9 页，共 14 页 本题考查命题的真假性判断，涉及函数的应用、图象与性质，数形结合思想，逻辑推 理能力，属于难题 16.【答案】 () 证明：因为 ? 平面 ? 1?1? ，?1? 平面 ? 1?1? 所以 ? ? 1B. 在 ? 1中， ? = 1，?1= 3，?1 = 2， 所以 ? 2 + ? 1 2 = ? 1 2 所以 ? ? 1B. 因为 ? ? = ? ，AB，? ? 平面 ABC， 所以 ? 1? 平面 ABC ( )解：由 ( )知， ? ? 1? ，? ?1? ，? ? ， 如图，以B 为原点建立空间直角坐标系?-? 则 ?(0, 0，0)， ?(- 1 2 , 3,
15、1)，?(1, 0，0) ? ? = (1,0,0) ， ? ? = (- 1 2 , 3,1) 设平面 BCE的法向量为? = (?, y，?)， 则 ? ? ? = 0 ? ? ? = 0 ， 即 ?= 0, - 1 2 ?+ 3?+ ? = 0. 令 ? = 3则?= 0，?= -3 ， 所以 ? = (0, 3, -3) 又因为平面ABC 的法向量为 ? ? ? = (0,1，0)， 所以 cos = ? ? ? |? |? ? | = 1 2 由题知二面角?-? - ? 为锐角，所以其大小为 ? 3 【解析】 ( )证明 ? ? 1B.? ?1B.利用直线与平面垂直的判断定理证明?1
16、? 平面 ABC ( )以 B为原点建立空间直角坐标系?- ?.求出平面BCE 的法向量，平面ABC 的法 向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可， 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象 能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题 17.【答案】 解： ( )由函数 ?(?) = 2? 2? 1? + ?2? ， 则 ?(0)= 2? 20 + ?0 = 2； ( )选择条件 ，则 ?(?) 的一个周期为 ? ； 由 ?(?) = 2? 2 ? + ?2? = (?2?+ 1) + ?2? = 2( 2 2 ?2?+ 2 2 ?2?)+ 1 = 2sin(2?+ ? 4) + 1； 因为?- ? 2 , ? 6，所以 2? + ? 4 - 3? 4 , 7? 12； 所以 -1 sin(2?+ ? 4) 1， 所以 1 - 2 ?(?) 1 + 2； 第 10 页，共 14 页 当2? + ? 4 = - ? 2，即 ?= - 3? 8 时，?(?)在- ? 2 , ? 6取得最小值为 1 - 2 选择条件 ，则 ?(?) 的一个周期为2?
