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1、07高一年级数学同步辅导 07高一数学同步辅导 集 合第一章 集 合集合论是整个现代数学的基础之一，高中教材中的集合概念属朴素集合论的初步，主要学习集合的基本概念，掌握集合的语言。这种语言较之普通语言能更准确、简练、清晰地表达数学知识和逻辑了解，有利于加深对知识的理解和数学思维能力的提高。这一部分的知识有三段，集合及其表示方法，元素与集合的关系（属于、不属于）；集合与集合的关系（包含、相等），子集、空集的概念；集合的运算（交、并、补），交集、并集、补集的概念。本节概念多，符号多，要注重辨析概念之间的差异和了解。集合中最基本与最重要的概念是集合的子、交、并、补的意义。熟练地正确使用各种符号，是我
2、们必须掌握的基本技能。集合的运算，既是重点又是难点。灵活地运用集合知识，深刻理解集合语言，强化集合语三种不同表达方式（普通语言、符号语言、图象语言即韦恩图）的互译训练，处理和解决内容广泛的数学问题，是我们学习这一节内容的目的。1.1 集合 1.2 子集、全集、补集 1.3 交集、并集一、知识点解析（一）集合1集合的概念集合是数学中最原始的概念之一，它和几何中的点、线、面一样，都是不加定义的，一组对象的全体形式一个集合，也简称集。集合的元素具有三个特性：确定性：任意给定的一个对象，都可判定它是不是某一给定集合的元素。如圆周率属于实数集，但不属于有理数集。而“好人”，“著名科学家”不能构成数学意义
3、上的集合。互异性：给定的集合中若有两个或两个以上的元素，则这集合中任两个元素都是不相同的对象，即任一集合中元素无重复现象。如方程的解集为1。无序性：集合中的元素是不排序的。例如集合a,b也可写作b,a。集合中的元素不一定只是数，还可以是任意的具体确定的事物，例如北京，上海，天津，重庆2集合的表示法列举法：把集合中的每一个元素列举出来。当集合中的元素较少时，可用列举法。有时，规律性强的无限个数也可用列举法表示。描述法：把集合元素的公共属性描述出来，写在大括号内的方法。又分为语言描述法和代表元素描述法。语言描述法的结构为：具有性质P的事物如小于10的正奇数等。代表元素描述法的结构为：X|X具有性质
4、P，如y|y=xx，表达函数的值域，即y的取值范围，而（x,y）/，x则表示抛物线上的点组成的集合。3符号“”与“”的用法符号“”与“”是表示元素与集合之间的从属关系的，它们不能表示集合与集合之间的包含关系。例如，。4特定集合N=自然数=非负整数，正整数，Z=整数， Q=有理数，R=实数，C=复数。不含有任何元素的集合叫做空集，用表示。（二）子集，全集，补集1子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，则集合A叫做集合B的子集。即任取XA，若均有XB成立，则A为B的子集，记作AB。如果A是B的子集且B也是A的子集，则称A与B相等。即若则A=B。如果A是B的子集且A与B
5、不相等，则称A是B的真子集。即若AB且AB，则AB。 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。2全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。全集可以由我们自由规定，出于研究的需要，有时我们会以N为全集，有时会以R为全集，但在同一个问题中只能有一个全集。3补集：设S是一全集，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合叫做S中子集A的补集，记作CsA，即4若集合A有几个元素，则它的所有子集的个数是。（三）交集、并集1交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A。2并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组
6、成的集合，叫做A与B的并集，记作A3必须熟练地用图形（韦恩venn图）来表示子集、交集、并集和补集。4常用的运算性质ABA，ABB，AA=A，A=，AB=BA，ABAAB，ABBAB，AB=BA，AB=AB，AB=ABA，AB=A且AB=AA=BACuA=, AUCuA=U, Cu(CuA)=A, Cu=U,CuU=,(CuA)U(CuB)=Cu(AB), (CuA) (CuB)=Cu(AUB)以上这些关系式均可用Venn图来验证。二、概念辨析例1下面命题中正确的是 （ ）A任何一个集合必有两个子集。B任何一个集合必有一个真子集。C若两个集合的交集是空集，则这两个集合至少一个是空集。D若两个集
7、合的交集是全集，则这两个集合都是全集。分析：为什么A，B不正确？考虑空集。排除C只需举出反例：A=1，B=2，A，但A，B全不空。举反例是一种强有力的说理方法。构作反例靠的是对基本概念的透彻理解。例2若集合M=X|X=M+，N=X|X=，P=X|X=，P，则M，N，P的关系是 （ ）AM=N BMN CMN=P D以上结论都不对 分析：因为M=X|X= N=X|X= P=X|X=对于集合，不要误以为，这是错误的。因为，所以，所以本题的答案为例3若，则满足上述条件的集合A为 。分析：吗？注意：，且。而，所以A是集合的子集，有8种可能，分别是，。例4已知，则A与B的关系是 。分析：由符号“”的定义
8、知，B中的元素为A的子集，而A的子集有4个，即，所以。例5已知，则（ ）A B C D以上答案均不对分析：如果你选B就错了。原因在于没有先研究集合中元素的属性、意义，错误地认为交集为两曲线的交点（或两方程的公共解）。正确的解为，所以，选C。例6若A，B是两个互不相等的非空集，且是全集I的真子集，下列四个关系中，有多少个是正确的？（1） （2） （3） （4） 分析：画图1 I A B 图1本图中，=I，A，（C，所以否定（1），（2）（3）。 画图2 I A B这张图中，否定（4）所以（1），（2），（3），（4）都不正确。例7.已知集合，若，求实数a的取值范围。错解：因为或，所以只有当时，即
9、时，才有，所以a的取值范围是分析：这里忽视了空集，因为是任何集合的子集，当Q=时，亦满足，此时 解得a4，所以，a的取值范围是例8.设集合，若，求实数a 的值，错解：由题设知，因为 所以a-1=2 所以a=3分析：集合B由描述法化简为列举法，不一定能得保持等价。由描述法知集合乃是关于X的方程的解集，这个方程一定有实根1，但可能有两个相等实根1，而，由断定了B中必有两元素，漏掉了B中只有一个元素1的情况，应补上。当a-1=1即a=2，仍有成立。所以a的值为2或3。例9设，若，则a 。解：显然，所以得，代入A中检验，符合题意，所以。例10集合为单元素集合，则a 。分析：如果你先入为主地认为A为一元
10、二次方程的解的集合，马上会联想到A为单元素集合等价于0，由此解得a1。但方程不一定是关于x的二次方程，当a0时，它是一次方程，也只有一个根，仍符合题意。故本题的解为a1或0。例11已知集合，且，求a的值。解： 由 ，或。当时，有即 时，两根之积为1。 与题意不符，应舍去。只有与题意相符，此时。若，则由韦达定理知矛盾，故。综上所述，只有当时，。例12已知全集，A、B是U的两个子集，且，求A、B。解：，用韦恩图分别表示、及得所以，。例13已知集合，设，求的值。解：两个集合相等，则它们对应元素相等（元素的确定值）所以，有 或（元素的无序性） 当时，解得，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去。当时，解得，
11、经检验满足题意。例14已知集合，且满足，求实数a的值。解：因为，所以，又因为，所以，故有 解之得或当时，而，故舍去；当时，与题意均相符。综上所述，。例15已知，集合，求集合。分析：请先读懂题意，准确翻译好题中两个集合，它们分别是方程和的解集。即，这个集合是单元素集3表示方程有等根3，据韦达定理易知，即，所以，代入集合M，得例16设，求a的值。解：，由知，或或或 对于方程，其判别式（1）当，即时，符合题意；（2）当，即时，也符合题意；（3）当，即时，M应等于，必须满足 综上所述，的值为或例17已知，若，求p的范围。分析：如何理解？ 其一：A中元素不是正数，只能是负数或零。设方程的根为、，则有：其
12、二：A是空集，综上所述，知满足题意的的范围是。解法二：让我们变换目标，从另一个角度去思考本题。由于方程不可能有零根且两根必同号，所以的条件是 满足题意的p的范围为（巧用补集，简洁明快）例18.已知集合如果，求实数m的取值范围。解：由 消去y，得 x-y+1=0 因为 所以方程在区间0，2，上至少有一个实根首先由得其次，设方程的两实数根公别为当时，由知，均为实数，与题意不符（在0，2上至少有一实根），应舍去。当时，由及=10及知方程有两正根，且必有一根在0，1上，（因为两正根乘积为1，互为倒数）从而方程至少有一个根在0，2上。综上所述，所求m的取值范围是（。注：今后我们还会学到利用二次函数根的公
13、布来解答本题。例19.设。解：将CuA和B表示在数轴上，（如图）得例20.集合(1) 若，求实数a的取值范围；(2) 若求实数a的取值范围；(3) 若且求实数a的取值范围。解：将数集A表示在数轴上（如图）（1） 要使，则a4。（2） 要使则。（3） 要使且应得。讲评：涉及数集的子集、交集、补集的问题，借助于数轴来处理，住住比较直观。例21.集合，求实数a的值。解：a2+1-3，只要使AB=-3有两种可能：a-3=-3或2a-1=-3. （1）当a-3=-3时，a=0，此时 A=0，1，-3，B=3，-1，1 则AB=1，-3与AB=-3矛盾 a=0舍去（2）当2a-1=-3时，a=-1，此时 A=1，0，-3 B=-4，-3，2 符合条件由（1）、
